ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§27の問題1の解説です.
問題
$\gamma = 2 \omega_0$の近くでの共鳴に対する不安定領域の限界を$h^2$の程度の正確さで求めよ.
解答作成
Mathieu方程式
\begin{align}
\ddot{x} + \omega_0^2 \left\{ 1 + h \cos \left( 2 \omega_0 + \varepsilon \right) t \right\} x &= 0 \tag{27.8}
\end{align}
の解を,
\begin{align}
x &= a_0 \cos \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t + b_0 \sin \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t \nonumber \\
&\quad + a_1 \cos 3 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t + b_1 \sin 3 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t
\end{align}
とおく(限界を求めるので$s=0$, つまり$a_0$, $b_0$, $a_1$, $b_1$は定数として計算すれば簡単になる).
\begin{align}
\ddot{x} &= - \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right)^2 \left\{ a_0 \cos \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t + b_0 \sin \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t \right\} \nonumber \\
&\quad - 9 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right)^2 \left\{ a_1 \cos 3 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t + b_1 \sin 3 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t \right\} , \nonumber \\
\omega_0^2 x &= \omega_0^2 \left\{ a_0 \cos \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t + b_0 \sin \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t \right\} \nonumber \\
&\quad + \omega_0^2 \left\{ a_1 \cos 3 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t + b_1 \sin 3 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t \right\} , \nonumber
\end{align}
そして,
\begin{align}
&\quad \omega_0^2 h \cos \left( 2 \omega_0 + \varepsilon \right) t \cdot x \nonumber \\
&= \omega_0^2 h \cos \left( 2 \omega_0 + \varepsilon \right) t \left\{ \cos \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t + b_0 \sin \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t \right\} \nonumber \\
&\quad + \omega_0^2 h \cos \left( 2 \omega_0 + \varepsilon \right) t \left\{ a_1 \cos 3 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t + b_1 \sin 3 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t \right\} \nonumber \\
&= \omega_0^2 h a_0 \left\{ \frac{1}{2} \cos 3 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t + \frac{1}{2} \cos \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t \right\} \nonumber \\
&\quad + \omega_0^2 h b_0 \left\{ \frac{1}{2} \sin 3 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t - \frac{1}{2} \sin \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t \right\} \nonumber \\
&\quad + \omega_0^2 h a_1 \left\{ \frac{1}{2} \cos 5 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t + \frac{1}{2} \cos \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t \right\} \nonumber \\
&\quad + \omega_0^2 h b_1 \left\{ \frac{1}{2} \sin 5 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t + \frac{1}{2} \sin \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t \right\} \nonumber
\end{align}
であるから,
- 振動数$\omega_0 + \frac{\varepsilon}{2}$の項は$\varepsilon$の3次以降を無視
- 振動数$3 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right)$の項は$\varepsilon$の1次以降を無視
- 振動数$5 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right)$の項を無視
という操作を行うと,
\begin{align}
&\left\{ - a_0 \left( \omega_0 \varepsilon + \frac{\varepsilon^2}{4} \right) + \frac{h \omega_0^2}{2} a_0 + \frac{h \omega_0^2}{2} a_1 \right\} \cos \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t \nonumber \\
&+ \left\{ - b_0 \left( \omega_0 \varepsilon + \frac{\varepsilon^2}{4} \right) - \frac{h \omega_0^2}{2} b_0 + \frac{h \omega_0^2}{2} b_1 \right\} \sin \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t \nonumber \\
&+ \left\{ \frac{h \omega_0^2}{2} a_0 - 8 \omega_0^2 a_1 \right\} \cos 3 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t \nonumber \\
&+ \left\{ \frac{h \omega_0^2}{2} b_0 - 8 \omega_0^2 b_1 \right\} \sin 3 \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{2} \right) t = 0
\end{align}
となる. 3項目, 4項目から
\begin{align}
a_1 &= \frac{h}{16} a_0 , \quad b_1 = \frac{h}{16} b_0
\end{align}
となるから, これを用いると, 1項目, 2項目より,
\begin{align}
\omega_0 \varepsilon \pm \frac{h \omega_0^2}{2} + \frac{\varepsilon^2}{4} - \frac{h^2 \omega_0^2}{32} &= 0 \nonumber
\end{align}
となる. これを$\varepsilon$について解いて,
\begin{align}
\varepsilon + 2 \omega_0 &= \sqrt{4 \omega_0^2 \pm 2 h \omega_0^2 + \frac{h^2 \omega_0^2}{8}} \quad(\text{$-$は不適}) \nonumber \\
\varepsilon &= - 2 \omega_0 + 2 \omega_0 \sqrt{1 \pm \frac{h}{2} + \frac{h^2}{32}} \nonumber \\
&= - 2 \omega_0 + 2 \omega_0 \left\{ 1 + \frac{1}{2} \left( \pm \frac{h}{2} + \frac{h^2}{32} \right) - \frac{1}{8} \left( \pm \frac{h}{2} \right)^2 \right\} + O (h^3) \nonumber \\
&= \pm \frac{h \omega_0}{2} - \frac{h^2 \omega_0}{32} + O (h^3)
\end{align}
となる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
リンク
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