ランダウ力学 §27問題1 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§27の問題1の解説です.

問題

γ = 2 ω_{0}

の近くでの共鳴に対する不安定領域の限界を

h^{2}

の程度の正確さで求めよ.

Mathieu方程式

\begin{aligned} (27.8) & \ddot{x} + ω_{0}^{2} {1 + h \cos (2 ω_{0} + ε) t} x & = 0 \end{aligned}

の解を,

\begin{aligned} x & = a_{0} \cos (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t + b_{0} \sin (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t \\ (1) & + a_{1} \cos 3 (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t + b_{1} \sin 3 (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t \end{aligned}

とおく(限界を求めるので $s = 0$ , つまり $a_{0}$ , $b_{0}$ , $a_{1}$ , $b_{1}$ は定数として計算すれば簡単になる).

\begin{aligned} \ddot{x} & = - {(ω_{0} + \frac{ε}{2})}^{2} {a_{0} \cos (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t + b_{0} \sin (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t} \\ - 9 {(ω_{0} + \frac{ε}{2})}^{2} {a_{1} \cos 3 (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t + b_{1} \sin 3 (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t}, \\ ω_{0}^{2} x & = ω_{0}^{2} {a_{0} \cos (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t + b_{0} \sin (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t} \\ + ω_{0}^{2} {a_{1} \cos 3 (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t + b_{1} \sin 3 (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t}, \end{aligned}

そして,

\begin{aligned} ω_{0}^{2} h \cos (2 ω_{0} + ε) t \cdot x \\ = ω_{0}^{2} h \cos (2 ω_{0} + ε) t {\cos (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t + b_{0} \sin (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t} \\ + ω_{0}^{2} h \cos (2 ω_{0} + ε) t {a_{1} \cos 3 (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t + b_{1} \sin 3 (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t} \\ = ω_{0}^{2} h a_{0} {\frac{1}{2} \cos 3 (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t + \frac{1}{2} \cos (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t} \\ + ω_{0}^{2} h b_{0} {\frac{1}{2} \sin 3 (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t - \frac{1}{2} \sin (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t} \\ + ω_{0}^{2} h a_{1} {\frac{1}{2} \cos 5 (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t + \frac{1}{2} \cos (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t} \\ + ω_{0}^{2} h b_{1} {\frac{1}{2} \sin 5 (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t + \frac{1}{2} \sin (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t} \end{aligned}

であるから,

という操作を行うと,

\begin{aligned} {- a_{0} (ω_{0} ε + \frac{ε^{2}}{4}) + \frac{h ω_{0}^{2}}{2} a_{0} + \frac{h ω_{0}^{2}}{2} a_{1}} \cos (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t \\ + {- b_{0} (ω_{0} ε + \frac{ε^{2}}{4}) - \frac{h ω_{0}^{2}}{2} b_{0} + \frac{h ω_{0}^{2}}{2} b_{1}} \sin (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t \\ + {\frac{h ω_{0}^{2}}{2} a_{0} - 8 ω_{0}^{2} a_{1}} \cos 3 (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t \\ (2) & + {\frac{h ω_{0}^{2}}{2} b_{0} - 8 ω_{0}^{2} b_{1}} \sin 3 (ω_{0} + \frac{ε}{2}) t = 0 \end{aligned}

となる. 3項目, 4項目から

\begin{aligned} (3) & a_{1} & = \frac{h}{16} a_{0}, b_{1} = \frac{h}{16} b_{0} \end{aligned}

となるから, これを用いると, 1項目, 2項目より,

\begin{aligned} ω_{0} ε \pm \frac{h ω_{0}^{2}}{2} + \frac{ε^{2}}{4} - \frac{h^{2} ω_{0}^{2}}{32} & = 0 \end{aligned}

となる. これを $ε$ について解いて,

\begin{aligned} ε + 2 ω_{0} & = \sqrt{4 ω_{0}^{2} \pm 2 h ω_{0}^{2} + \frac{h^{2} ω_{0}^{2}}{8}} (- は不適) \\ ε & = - 2 ω_{0} + 2 ω_{0} \sqrt{1 \pm \frac{h}{2} + \frac{h^{2}}{32}} \\ = - 2 ω_{0} + 2 ω_{0} {1 + \frac{1}{2} (\pm \frac{h}{2} + \frac{h^{2}}{32}) - \frac{1}{8} {(\pm \frac{h}{2})}^{2}} + O (h^{3}) \\ (4) & = \pm \frac{h ω_{0}}{2} - \frac{h^{2} ω_{0}}{32} + O (h^{3}) \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.