ランダウ力学 §18問題6 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§18の問題6の解説です.

問題

Newtonの法則にしたがって重力をおよぼしている球(質量

m_{2}

, 半径

R

)の表面に粒子(質量

m_{1}

)が到達する有効断面積を求めよ.

有効ポテンシャルは

\begin{aligned} (1) & U_{有効} (r) & = - \frac{G m_{1} m_{2}}{r} + \frac{M^{2}}{2 m r^{2}} \end{aligned}

である. 衝突の条件は $r_{\min} < R$ となることであり( $r_{\min}$ ：粒子の軌跡のうちで球の中心に最も近い点の距離), 条件を満たす $ρ$ のうち最大の値は条件 $r_{\min} = R$ によって決まり, $U_{有効} (R) = E$ , すなわち

\begin{aligned} - \frac{G m_{1} m_{2}}{R} + \frac{m^{2} ρ_{\max}^{2} v_{\infty}^{2}}{2 m R^{2}} & = \frac{1}{2} m v_{\infty}^{2} \end{aligned}

の根となり, 計算すると

\begin{aligned} (2) & ρ_{\max}^{2} & = R^{2} + \frac{2 G m_{1} m_{2} R}{m v_{\infty}^{2}} \end{aligned}

となる.

ここで, $m \approx m_{1}$ の近似(つまり, $m_{1} ≪ m_{2}$ )を用いると

\begin{aligned} (3) & ρ_{\max}^{2} & = R^{2} (1 + \frac{2 G m_{2}}{R v_{\infty}^{2}}) \end{aligned}

となるから, 求める有効断面積は

\begin{aligned} (4) & σ & = π ρ_{\max}^{2} = π R^{2} (1 + \frac{2 G m_{2}}{R v_{\infty}^{2}}) \end{aligned}

となる. $v_{\infty} \to \infty$ で, $σ$ は球の幾何学的断面積 $π R^{2}$ に近づく(有効断面積はNewtonポテンシャルエネルギーの影響をほぼ受けない).

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.