ランダウ力学 §18問題6 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§18の問題6の解説です.

問題

Newtonの法則にしたがって重力をおよぼしている球(質量$m_2$, 半径$R$)の表面に粒子(質量$m_1$)が到達する有効断面積を求めよ.

解答作成

有効ポテンシャルは

\begin{align} U_{\text{有効}}(r) &= - \frac{G m_1 m_2}{r} + \frac{M^2}{2mr^2} \end{align}

である. 衝突の条件は$r_{\mathrm{min}} < R$となることであり($r_{\mathrm{min}}$：粒子の軌跡のうちで球の中心に最も近い点の距離), 条件を満たす$\rho$のうち最大の値は条件$r_{\mathrm{min}} = R$によって決まり, $U_{\text{有効}} (R) = E$, すなわち

\begin{align} - \frac{G m_1 m_2}{R} + \frac{m^2 \rho_{\mathrm{max}}^2 v_{\infty}^2}{2mR^2} &= \frac{1}{2} m v_{\infty}^2 \nonumber \end{align}

の根となり, 計算すると

\begin{align} \rho_{\mathrm{max}}^2 &= R^2 + \frac{2G m_1 m_2 R}{m v_{\infty}^2} \end{align}

となる.

ここで, $m \approx m_1$の近似(つまり, $m_1 \ll m_2$)を用いると

\begin{align} \rho_{\mathrm{max}}^2 &= R^2 \left( 1 + \frac{2G m_2}{R v_{\infty}^2} \right) \end{align}

となるから, 求める有効断面積は

\begin{align} \sigma &= \pi \rho_{\mathrm{max}}^2 = \pi R^2 \left( 1 + \frac{2G m_2}{R v_{\infty}^2} \right) \end{align}

となる. $v_{\infty} \to \infty$で, $\sigma$は球の幾何学的断面積$\pi R^2$に近づく(有効断面積はNewtonポテンシャルエネルギーの影響をほぼ受けない).

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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