ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§27の問題2の解説です.
問題
$\gamma = \omega_0$の近くでの共鳴に対する不安定領域の限界を定めよ.
解答作成
$\gamma = \omega_0$として,
\begin{align}
\ddot{x} + \omega_0^2 \left\{ 1 + h \cos \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t \right\} x &= 0
\end{align}
とする. 求める限界の値が$\varepsilon \sim h^2$であることを考慮し,
\begin{align}
x &= a_0 \cos \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t + b_0 \sin \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t \nonumber \\
&\quad + a_1 \cos 2 \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t + b_1 \sin 2 \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t + c_1
\end{align}
とすると,
\begin{align}
\ddot{x} &= - \left( \omega_0 + \varepsilon \right)^2 \left\{ a_0 \cos \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t + b_0 \sin \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t \right\} \nonumber \\
&\quad - 4 \left( \omega_0 + \varepsilon \right)^2 \left\{ a_1 \cos 2 \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t + b_1 \sin 2 \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t \right\} , \nonumber \\
\omega_0^2 x &= \omega_0^2 \left\{ a_0 \cos \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t + b_0 \sin \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t \right\} \nonumber \\
&\quad + \omega_0^2 \left\{ a_1 \cos 2 \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t + b_1 \sin 2 \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t \right\} + \omega_0^2 c_1 \nonumber
\end{align}
そして,
\begin{align}
&\quad \omega^2 h \cos \left( \omega + \varepsilon \right) t \cdot x \nonumber \\
&= \omega^2 h \cos \left( \omega + \varepsilon \right) t \left\{ a_0 \cos \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t + b_0 \sin \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t \right\} \nonumber \\
&\quad + \omega^2 h \cos \left( \omega + \varepsilon \right) t \left\{ a_1 \cos 2 \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t + b_1 \sin 2 \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t + c_1 \right\} \nonumber \\
&= \omega_0^2 h a_0 \left\{ \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2 \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t \right\} \nonumber \\
&\quad + \omega_0^2 h b_0 \frac{1}{2} \sin 2 \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t \nonumber \\
&\quad + \omega_0^2 h a_1 \left\{ \frac{1}{2} \cos 3 \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t + \frac{1}{2} \cos \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t \right\} \nonumber \\
&\quad + \omega_0^2 h b_1 \left\{ \frac{1}{2} \sin 3 \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t + \frac{1}{2} \sin \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t \right\} \nonumber \\
&\quad + \omega_0^2 h c_1 \cos \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t \nonumber
\end{align}
であるから,
- 振動数$\omega_0 + \varepsilon$の項は$\varepsilon$の2次以降を無視
- 振動数$2 \left( \omega_0 + \varepsilon \right)$の項は$\varepsilon$の1次以降を無視
- 振動数$3 \left( \omega_0 + \varepsilon \right)$の項を無視
という操作を行うと,
\begin{align}
&\left\{ - 2 \omega_0 \varepsilon a_0 + \frac{h \omega_0^2}{2} a_1 + h \omega_0^2 c_1 \right\} \cos \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t \nonumber \\
&+ \left\{ - 2 \omega_0 \varepsilon b_0 + \frac{h \omega_0^2}{2} b_1 \right\} \sin \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t \nonumber \\
&+ \left\{ - 3 \omega_0^2 a_1 + \frac{h \omega_0^2}{2} a_0 \right\} \cos 2 \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t \nonumber \\
&+ \left\{ - 3 \omega_0^2 b_1 + \frac{h \omega_0^2}{2} b_0 \right\} \sin 2 \left( \omega_0 + \varepsilon \right) t \nonumber \\
&+ \left( \omega_0^2 c_1 + \frac{h \omega_0^2}{2} a_0 \right) = 0
\end{align}
となる. 3項目, 4項目, 5項目から,
\begin{align}
a_1 &= \frac{h}{6} a_0 , \quad b_1 = \frac{h}{6} b_0 , \quad c_1 = - \frac{h}{2} a_0
\end{align}
となるから, これを用いると, 1項目より
\begin{align}
\varepsilon &= - \frac{5}{24} h^2 \omega_0
\end{align}
となり, 2項目より
\begin{align}
\varepsilon &= \frac{1}{24} h^2 \omega_0
\end{align}
となる. この2つの$\varepsilon$が, 求める不安定領域の2つの限界である.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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