ランダウ力学 §27問題2 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§27の問題2の解説です.

問題

γ = ω_{0}

の近くでの共鳴に対する不安定領域の限界を定めよ.

$γ = ω_{0}$ として,

\begin{aligned} (1) & \ddot{x} + ω_{0}^{2} {1 + h \cos (ω_{0} + ε) t} x & = 0 \end{aligned}

とする. 求める限界の値が $ε \sim h^{2}$ であることを考慮し,

\begin{aligned} x & = a_{0} \cos (ω_{0} + ε) t + b_{0} \sin (ω_{0} + ε) t \\ (2) & + a_{1} \cos 2 (ω_{0} + ε) t + b_{1} \sin 2 (ω_{0} + ε) t + c_{1} \end{aligned}

とすると,

\begin{aligned} \ddot{x} & = - {(ω_{0} + ε)}^{2} {a_{0} \cos (ω_{0} + ε) t + b_{0} \sin (ω_{0} + ε) t} \\ - 4 {(ω_{0} + ε)}^{2} {a_{1} \cos 2 (ω_{0} + ε) t + b_{1} \sin 2 (ω_{0} + ε) t}, \\ ω_{0}^{2} x & = ω_{0}^{2} {a_{0} \cos (ω_{0} + ε) t + b_{0} \sin (ω_{0} + ε) t} \\ + ω_{0}^{2} {a_{1} \cos 2 (ω_{0} + ε) t + b_{1} \sin 2 (ω_{0} + ε) t} + ω_{0}^{2} c_{1} \end{aligned}

そして,

\begin{aligned} ω^{2} h \cos (ω + ε) t \cdot x \\ = ω^{2} h \cos (ω + ε) t {a_{0} \cos (ω_{0} + ε) t + b_{0} \sin (ω_{0} + ε) t} \\ + ω^{2} h \cos (ω + ε) t {a_{1} \cos 2 (ω_{0} + ε) t + b_{1} \sin 2 (ω_{0} + ε) t + c_{1}} \\ = ω_{0}^{2} h a_{0} {\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cos 2 (ω_{0} + ε) t} \\ + ω_{0}^{2} h b_{0} \frac{1}{2} \sin 2 (ω_{0} + ε) t \\ + ω_{0}^{2} h a_{1} {\frac{1}{2} \cos 3 (ω_{0} + ε) t + \frac{1}{2} \cos (ω_{0} + ε) t} \\ + ω_{0}^{2} h b_{1} {\frac{1}{2} \sin 3 (ω_{0} + ε) t + \frac{1}{2} \sin (ω_{0} + ε) t} \\ + ω_{0}^{2} h c_{1} \cos (ω_{0} + ε) t \end{aligned}

であるから,

という操作を行うと,

\begin{aligned} {- 2 ω_{0} ε a_{0} + \frac{h ω_{0}^{2}}{2} a_{1} + h ω_{0}^{2} c_{1}} \cos (ω_{0} + ε) t \\ + {- 2 ω_{0} ε b_{0} + \frac{h ω_{0}^{2}}{2} b_{1}} \sin (ω_{0} + ε) t \\ + {- 3 ω_{0}^{2} a_{1} + \frac{h ω_{0}^{2}}{2} a_{0}} \cos 2 (ω_{0} + ε) t \\ + {- 3 ω_{0}^{2} b_{1} + \frac{h ω_{0}^{2}}{2} b_{0}} \sin 2 (ω_{0} + ε) t \\ (3) & + (ω_{0}^{2} c_{1} + \frac{h ω_{0}^{2}}{2} a_{0}) = 0 \end{aligned}

となる. 3項目, 4項目, 5項目から,

\begin{aligned} (4) & a_{1} & = \frac{h}{6} a_{0}, b_{1} = \frac{h}{6} b_{0}, c_{1} = - \frac{h}{2} a_{0} \end{aligned}

となるから, これを用いると, 1項目より

\begin{aligned} (5) & ε & = - \frac{5}{24} h^{2} ω_{0} \end{aligned}

となり, 2項目より

\begin{aligned} (6) & ε & = \frac{1}{24} h^{2} ω_{0} \end{aligned}

となる. この2つの $ε$ が, 求める不安定領域の2つの限界である.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.