ランダウ力学 §21問題5 解説-Shinoryo's Weblog

すしぱく様によるフリー素材ぱくたそ(https://www.pakutaso.com/)からの画像をShinoryoが加工した画像

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§21の問題5の解説です.

問題

図2に示した振り子の振動数を求めよ. それをつるしてある点(質量$m_1$が附随している)は, 水平方向に動くことができる.

図2

解答作成

Lagrangianは§5問題2で求めていて,

\begin{align} L &= \frac{1}{2} \left( m_1 + m_2 \right) \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m_2 l^2 \dot{\varphi}^2 + m_2 l \dot{x} \dot{\varphi} \cos \varphi + m_2 g l \cos \varphi \nonumber \end{align}

である. そこから慣性中心が静止しているという条件

\begin{align} P_x = \left( m_1 + m_2 \right) \dot{x} + m_2 l \dot{\varphi} \cos \varphi &= 0 \nonumber \end{align}

を課したものは, §14問題3での計算をそのまま用いて

\begin{align} L &= \frac{m_2 l^2 \dot{\varphi}^2}{2} \left( 1 - \frac{m_2}{m_1 + m_2} \cos^2 \varphi \right) + m_2 g l \cos \varphi \nonumber \end{align}

となる. $\varphi \ll 1$とすれば,

\begin{align} L &\simeq \frac{m_2 l^2 \dot{\varphi}^2}{2} \left\{ 1 - \frac{m_2}{m_1 + m_2} \left( 1 - \frac{1}{2} \varphi^2 \right) \right\} + m_2 g l \left( 1 - \frac{1}{2} \varphi^2 \right) \nonumber \\ &\simeq \frac{m_1 m_2 l^2}{2 \left( m_1 + m_2 \right)} \dot{\varphi}^2 + m_2 gl - \frac{1}{2} m_2 g l \varphi^2 \nonumber \end{align}

となる($\dot{\varphi}^2 \varphi^2$の項も微小として無視). $m_2 gl$も定数なので, Lagrangianとしては無視してよい. まとめると, Lagrangianは,

\begin{align} L &= \frac{m_1 m_2 l^2}{2 \left( m_1 + m_2 \right)} \dot{\varphi}^2 - \frac{1}{2} m_2 g l \varphi^2 \nonumber \end{align}

となる. 本編の議論と同様にすれば,

\begin{align} \omega &= \sqrt{\frac{g \left( m_1 + m_2 \right)}{m_1 l}} \end{align}

が求める振動数である.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

リンク

ランダウ力学 §21問題5 解説

問題

解答作成

参考文献

関連記事

0 件のコメント:

コメントを投稿 (Please feel free to ask me about your questions! You can use Japanese or English in the comments.)

Search

About Me

Labels

Blog Archives

Twitter