ランダウ力学 §21問題5 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§21の問題5の解説です.

問題

図2に示した振り子の振動数を求めよ. それをつるしてある点(質量

m_{1}

が附随している)は, 水平方向に動くことができる.

図2

Lagrangianは§5問題2で求めていて,

\begin{aligned} L & = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) {\dot{x}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} l^{2} {\dot{φ}}^{2} + m_{2} l \dot{x} \dot{φ} \cos φ + m_{2} g l \cos φ \end{aligned}

である. そこから慣性中心が静止しているという条件

\begin{aligned} P_{x} = (m_{1} + m_{2}) \dot{x} + m_{2} l \dot{φ} \cos φ & = 0 \end{aligned}

を課したものは, §14問題3での計算をそのまま用いて

\begin{aligned} L & = \frac{m_{2} l^{2} {\dot{φ}}^{2}}{2} (1 - \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cos^{2} φ) + m_{2} g l \cos φ \end{aligned}

となる. $φ ≪ 1$ とすれば,

\begin{aligned} L & ≃ \frac{m_{2} l^{2} {\dot{φ}}^{2}}{2} {1 - \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} (1 - \frac{1}{2} φ^{2})} + m_{2} g l (1 - \frac{1}{2} φ^{2}) \\ ≃ \frac{m_{1} m_{2} l^{2}}{2 (m_{1} + m_{2})} {\dot{φ}}^{2} + m_{2} g l - \frac{1}{2} m_{2} g l φ^{2} \end{aligned}

となる( ${\dot{φ}}^{2} φ^{2}$ の項も微小として無視). $m_{2} g l$ も定数なので, Lagrangianとしては無視してよい. まとめると, Lagrangianは,

\begin{aligned} L & = \frac{m_{1} m_{2} l^{2}}{2 (m_{1} + m_{2})} {\dot{φ}}^{2} - \frac{1}{2} m_{2} g l φ^{2} \end{aligned}

となる. 本編の議論と同様にすれば,

\begin{aligned} (1) & ω & = \sqrt{\frac{g (m_{1} + m_{2})}{m_{1} l}} \end{aligned}

が求める振動数である.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.