ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§23の問題1の解説です.
問題
Lagrangianが
\begin{align}
L &= \frac{1}{2} \left( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 \right) - \frac{\omega_0^2}{2} \left( x^2 + y^2 \right) + \alpha xy \nonumber
\end{align}
で与えられる自由度2の系の振動を決定せよ(固有振動数$\omega_0$をもつ2つの等しい1次元の系が, 相互作用$- \alpha xy$で結ばれている).
解答作成
本編中の表現で
\begin{align}
m_{ij} &=
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
, \nonumber \\
k_{ij} &=
\begin{pmatrix}
\omega_0^2 & - \alpha \\
- \alpha & \omega_0^2
\end{pmatrix}
\nonumber
\end{align}
であるから, 特有方程式は(23.8)より
\begin{align}
\begin{vmatrix}
\omega_0^2 - \omega^2 & - \alpha \\
- \alpha & \omega_0^2 - \omega^2
\end{vmatrix}
&= 0
\end{align}
となり, これを解くと
\begin{align}
\omega &= \sqrt{\omega_0^2 \pm \alpha}
\end{align}
となる. ゆえに, 基準振動を本編(23.10)と同様に
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
Q_1 &= \mathrm{Re} \left[ C_1 e^{i \sqrt{\omega_0^2 - \alpha} t} \right] , \\
Q_2 &= \mathrm{Re} \left[ C_2 e^{i \sqrt{\omega_0^2 + \alpha} t} \right]
\end{aligned}
\right.
\end{align}
とおけば($C_1$, $C_2$は任意定数),(23.9)のように
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
x &= \alpha Q_1 + \alpha Q_2 \\
y &= \alpha Q_1 - \alpha Q_2
\end{aligned}
\right.
\end{align}
となる. さらに, 基準振動を
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
Q_1 &= \mathrm{Re} \left[ \sqrt{2} \alpha C_1 e^{i \sqrt{\omega_0^2 - \alpha} t} \right] , \\
Q_2 &= \mathrm{Re} \left[ \sqrt{2} \alpha C_2 e^{i \sqrt{\omega_0^2 + \alpha} t} \right]
\end{aligned}
\right.
\end{align}
とすれば(任意定数を変更),
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
x &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( Q_1 + Q_2 \right) \\
y &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left( Q_1 - Q_2 \right)
\end{aligned}
\right.
\end{align}
となる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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