ランダウ力学 §23問題1 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§23の問題1の解説です.

問題

Lagrangianが

\begin{aligned} L & = \frac{1}{2} ({\dot{x}}^{2} + {\dot{y}}^{2}) - \frac{ω_{0}^{2}}{2} (x^{2} + y^{2}) + α x y \end{aligned}

で与えられる自由度2の系の振動を決定せよ(固有振動数

ω_{0}

をもつ2つの等しい1次元の系が, 相互作用

- α x y

で結ばれている).

本編中の表現で

\begin{aligned} m_{i j} & = (\begin{array}{c} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}), \\ k_{i j} & = (\begin{array}{c} ω_{0}^{2} & - α \\ - α & ω_{0}^{2} \end{array}) \end{aligned}

であるから, 特有方程式は(23.8)より

\begin{aligned} (1) & | \begin{array}{c} ω_{0}^{2} - ω^{2} & - α \\ - α & ω_{0}^{2} - ω^{2} \end{array} | & = 0 \end{aligned}

となり, これを解くと

\begin{aligned} (2) & ω & = \sqrt{ω_{0}^{2} \pm α} \end{aligned}

となる. ゆえに, 基準振動を本編(23.10)と同様に

\begin{array}{r} (3) & {\begin{aligned} Q_{1} & = Re [C_{1} e^{i \sqrt{ω_{0}^{2} - α} t}], \\ Q_{2} & = Re [C_{2} e^{i \sqrt{ω_{0}^{2} + α} t}] \end{aligned} \end{array}

とおけば( $C_{1}$ , $C_{2}$ は任意定数),(23.9)のように

\begin{array}{r} (4) & {\begin{aligned} x & = α Q_{1} + α Q_{2} \\ y & = α Q_{1} - α Q_{2} \end{aligned} \end{array}

となる. さらに, 基準振動を

\begin{array}{r} (5) & {\begin{aligned} Q_{1} & = Re [\sqrt{2} α C_{1} e^{i \sqrt{ω_{0}^{2} - α} t}], \\ Q_{2} & = Re [\sqrt{2} α C_{2} e^{i \sqrt{ω_{0}^{2} + α} t}] \end{aligned} \end{array}

とすれば(任意定数を変更),

\begin{array}{r} (6) & {\begin{aligned} x & = \frac{1}{\sqrt{2}} (Q_{1} + Q_{2}) \\ y & = \frac{1}{\sqrt{2}} (Q_{1} - Q_{2}) \end{aligned} \end{array}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.