ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§23の問題2の解説です.
問題
2重平面振り子(図1)の微小振動を決定せよ.
図1解答作成
§5問題1で見いだされたLagrangianは
\begin{align}
L &= \frac{m_1 + m_2}{2} l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 l_2^2 \dot{\varphi}_2^2 + m_2 l_1 l_2 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_2 \cos \left( \varphi_1 - \varphi_2 \right) \nonumber \\
&\qquad + \left( m_1 + m_2 \right) g l_1 \cos \varphi_1 + m_2 g l_2 \cos \varphi_2 \nonumber
\end{align}
である. 微小振動を考えれば,
\begin{align}
L &= \frac{m_1 + m_2}{2} l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 l_2^2 \dot{\varphi}_2^2 + m_2 l_1 l_2 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_2 \nonumber \\
&\qquad - \frac{m_1 + m_2}{2} g l_1 \varphi_1^2 - \frac{m_2}{2} g l_2 \varphi_2^2 \nonumber
\end{align}
となる(定数項は省略). 本編中の表現で
\begin{align}
m_{ij} &=
\begin{pmatrix}
\left( m_1 + m_2 \right) l_1^2 & m_2 l_1 l_2 \\
m_2 l_1 l_2 & m_2 l_2^2
\end{pmatrix}
, \nonumber \\
k_{ij} &=
\begin{pmatrix}
\left( m_1 + m_2 \right) g l_1 & 0 \\
0 & m_2 g l_2
\end{pmatrix}
\nonumber
\end{align}
であるから, 特有方程式は(23.8)より
\begin{align}
\begin{vmatrix}
\left( m_1 + m_2 \right) g l_1 - \omega^2 \left( m_1 + m_2 \right) l_1^2 & - \omega^2 m_2 l_1 l_2 \\
- \omega^2 m_2 l_1 l_2 & m_2 g l_2 - \omega^2 m_2 l_2^2
\end{vmatrix}
&= 0 \nonumber
\end{align}
すなわち,
\begin{align}
\begin{vmatrix}
\left( m_1 + m_2 \right) \left( g - \omega^2 l_1 \right) & - \omega^2 m_2 l_2 \\
- \omega^2 l_1 & g - \omega^2 l_2
\end{vmatrix}
&= 0
\end{align}
となり, これを解くと
\begin{align}
\omega^2 &= \frac{g}{2m_1 l_1 l_2} \left\{ \left( m_1 + m_2 \right) \left( l_1 + l_2 \right) \right. \nonumber \\
&\qquad \left. \pm \sqrt{\left( m_1 + m_2 \right) \left[ \left( m_1 + m_2 \right) \left( l_1 + l_2 \right)^2 - 4 m_1 l_1 l_2 \right]} \right\}
\end{align}
となる. よって, 求める振動は, この振動数での微小振動の重ね合わせである.
変形すると,
\begin{align}
\omega^2 &= \frac{g}{2l_1 l_2} \left\{ \left( 1 + \frac{m_2}{m_1} \right) \left( l_1 + l_2 \right) \right. \nonumber \\
&\qquad \left. \pm \sqrt{\left( 1 + \frac{m_2}{m_1} \right) \left[ \left( 1 + \frac{m_2}{m_1} \right) \left( l_1 + l_2 \right)^2 - 4 l_1 l_2 \right]} \right\}
\end{align}
となるから, $m_1 \to \infty$の極限で
\begin{align}
\omega^2 &\to \frac{g}{2l_1 l_2} \left\{ \left( l_1 + l_2 \right) \pm \sqrt{\left( l_1 + l_2 \right)^2 - 4 l_1 l_2} \right\} \nonumber \\
&= \frac{g}{2l_1 l_2} \left\{ \left( l_1 + l_2 \right) \pm \sqrt{\left( l_1 - l_2 \right)^2} \right\} \nonumber \\
&= \frac{g}{2l_1 l_2} \left\{ \left( l_1 + l_2 \right) \pm \left| l_1 - l_2 \right| \right\} \nonumber \\
&= \frac{g}{l_1} \, \text{または} \, \frac{g}{l_2}
\end{align}
となり, それぞれ結合のない2つの振り子の微小振動に近づく.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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