ランダウ力学 §23問題2 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§23の問題2の解説です.

問題

2重平面振り子(図1)の微小振動を決定せよ.

図1

§5問題1で見いだされたLagrangianは

\begin{aligned} L & = \frac{m_{1} + m_{2}}{2} l_{1}^{2} {\dot{φ}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} l_{2}^{2} {\dot{φ}}_{2}^{2} + m_{2} l_{1} l_{2} {\dot{φ}}_{1} {\dot{φ}}_{2} \cos (φ_{1} - φ_{2}) \\ + (m_{1} + m_{2}) g l_{1} \cos φ_{1} + m_{2} g l_{2} \cos φ_{2} \end{aligned}

である. 微小振動を考えれば,

\begin{aligned} L & = \frac{m_{1} + m_{2}}{2} l_{1}^{2} {\dot{φ}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} l_{2}^{2} {\dot{φ}}_{2}^{2} + m_{2} l_{1} l_{2} {\dot{φ}}_{1} {\dot{φ}}_{2} \\ - \frac{m_{1} + m_{2}}{2} g l_{1} φ_{1}^{2} - \frac{m_{2}}{2} g l_{2} φ_{2}^{2} \end{aligned}

となる(定数項は省略). 本編中の表現で

\begin{aligned} m_{i j} & = (\begin{array}{c} (m_{1} + m_{2}) l_{1}^{2} & m_{2} l_{1} l_{2} \\ m_{2} l_{1} l_{2} & m_{2} l_{2}^{2} \end{array}), \\ k_{i j} & = (\begin{array}{c} (m_{1} + m_{2}) g l_{1} & 0 \\ 0 & m_{2} g l_{2} \end{array}) \end{aligned}

であるから, 特有方程式は(23.8)より

\begin{aligned} | \begin{array}{c} (m_{1} + m_{2}) g l_{1} - ω^{2} (m_{1} + m_{2}) l_{1}^{2} & - ω^{2} m_{2} l_{1} l_{2} \\ - ω^{2} m_{2} l_{1} l_{2} & m_{2} g l_{2} - ω^{2} m_{2} l_{2}^{2} \end{array} | & = 0 \end{aligned}

すなわち,

\begin{aligned} (1) & | \begin{array}{c} (m_{1} + m_{2}) (g - ω^{2} l_{1}) & - ω^{2} m_{2} l_{2} \\ - ω^{2} l_{1} & g - ω^{2} l_{2} \end{array} | & = 0 \end{aligned}

となり, これを解くと

\begin{aligned} ω^{2} & = \frac{g}{2 m_{1} l_{1} l_{2}} {(m_{1} + m_{2}) (l_{1} + l_{2}) \\ (2) & \pm \sqrt{(m_{1} + m_{2}) [(m_{1} + m_{2}) {(l_{1} + l_{2})}^{2} - 4 m_{1} l_{1} l_{2}]}} \end{aligned}

となる. よって, 求める振動は, この振動数での微小振動の重ね合わせである.

変形すると,

\begin{aligned} ω^{2} & = \frac{g}{2 l_{1} l_{2}} {(1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}) (l_{1} + l_{2}) \\ (3) & \pm \sqrt{(1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}) [(1 + \frac{m_{2}}{m_{1}}) {(l_{1} + l_{2})}^{2} - 4 l_{1} l_{2}]}} \end{aligned}

となるから, $m_{1} \to \infty$ の極限で

\begin{aligned} ω^{2} & \to \frac{g}{2 l_{1} l_{2}} {(l_{1} + l_{2}) \pm \sqrt{{(l_{1} + l_{2})}^{2} - 4 l_{1} l_{2}}} \\ = \frac{g}{2 l_{1} l_{2}} {(l_{1} + l_{2}) \pm \sqrt{{(l_{1} - l_{2})}^{2}}} \\ = \frac{g}{2 l_{1} l_{2}} {(l_{1} + l_{2}) \pm | l_{1} - l_{2} |} \\ (4) & = \frac{g}{l_{1}} または \frac{g}{l_{2}} \end{aligned}

となり, それぞれ結合のない2つの振り子の微小振動に近づく.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.