ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§32の問題8の解説です.
問題
解答作成
(円錐の図を書くのが面倒なので, 本編p.131の図43をご覧ください. )
並進運動のエネルギーと回転運動のエネルギーに分けて考える.
平面上の$\mathrm{X}$軸と円錐の軸との間の角度を$\theta$とする. この角度は, 円錐が転がっていくにつれて変化する.
並進運動
さて, 並進運動を瞬間的に考えると, $Z$軸を回転軸とした回転運動と考えられる(ある意味, そのままである). その回転運動の角速度は当然, $\dot{\theta}$である. $a$を頂点から慣性中心までの距離とすると, 慣性中心の運動の速さは
である. 円錐の質量を$\mu$とすれば, 並進運動の運動エネルギーは
となる. 頂点から慣性中心までの距離は,
である(こちらの記事参照)から, これを代入すると,
となる.
回転運動
続いて, 回転運動のエネルギーについて考える. この回転運動の角速度$\Omega$は, 直線$\mathrm{OA}$のまわりの回転の速さとして計算される. すなわち,
となる$\Omega$である(ただし, $2 \alpha$は円錐の頂角である)*1から,
である. 円錐の軸のまわりの慣性モーメントを$I_3$とする. そして, 残りの慣性主軸($x_2$)としては, 円錐の軸および直線$\mathrm{OA}$に垂直な直線を選ぶ. すなわち, 角速度ベクトル$\bm{\Omega}$の各慣性主軸への射影は, それぞれ$\Omega \sin \alpha$, $0$, $\Omega \cos \alpha$となる. ゆえに, 回転運動の運動エネルギーは
となる. 一様な円錐の慣性モーメント$I_1$, $I_3$は§32問題2のeで求められており,
となる(ただし, $R$は円錐の底面の半径, $h$は円錐の高さである). また, 頂点から慣性中心までの距離は, 式\eqref{eq_32-7-ex1}で与えられる. さらに, $R$は円錐の底面の半径であり, $h$は円錐の高さであるから, これら2つには$\alpha$によって
という関係が成り立つ. これらを代入すると
となる.
並進運動と回転運動の合計
以上から, 求める運動エネルギーは,
である.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
ちなみに
こちらの記事(外部ページです)も参考になりました. §32問題7との比較についても記述されています.
- Gordius様による「ランダウ・リフシッツ 力学 §32 問題8」
ランダウ・リフシッツ 力学 §32 問題8
ランダウ・リフシッツの力学(増補第3版) §32 問題8 のメモです. 問題8を解く 問題7と同様に「回転の角速度は, 瞬間的な軸OAの周りの真正の回転の速さとして計算される」と考えます. OAと慣性中
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脚注
*1 : 慣性中心と直線$\mathrm{OA}$の距離が$a \sin \alpha$となる.
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