ランダウ力学 §19問題1 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§19の問題1の解説です.

問題

U = α / r^{2}

の場における散乱断面積を求めよ(

α > 0

\begin{aligned} (18.4) & φ_{0} & = \int_{r_{\min}}^{\infty} \frac{ρ \frac{d r}{r^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{ρ^{2}}{r^{2}} - \frac{2 U}{m v_{\infty}^{2}}}} \end{aligned}

に $U = α / r^{2}$ を代入して,

\begin{aligned} φ & = \int_{r_{\min}}^{\infty} \frac{ρ \frac{d r}{r^{2}}}{\sqrt{1 - (ρ + \frac{2 α}{m v_{\infty}^{2}}) \frac{1}{r^{2}}}} \end{aligned}

となる. $s = 1 / r$ の置換を利用して,

\begin{aligned} φ_{0} & = - ρ \int_{s_{\max}}^{0} \frac{d s}{\sqrt{1 - (ρ + \frac{2 α}{m v_{\infty}^{2}}) s^{2}}} \\ = {[\frac{ρ}{\sqrt{ρ + \frac{2 α}{m v_{\infty}^{2}}}} \sin^{- 1} (\sqrt{ρ + \frac{2 α}{m v_{\infty}^{2}}} s)]}_{0}^{s_{\max}} \\ (1) & = \frac{ρ}{\sqrt{ρ + \frac{2 α}{m v_{\infty}^{2}}}} \sin^{- 1} (\sqrt{ρ + \frac{2 α}{m v_{\infty}^{2}}} \frac{1}{r_{\min}}) \end{aligned}

となる. ここで, $r_{\min}$ は, 有効ポテンシャルの議論から

\begin{aligned} E & = \frac{M^{2}}{2 m r_{\min}^{2}} + \frac{α}{r_{\min}^{2}} \end{aligned}

を解くことで与えられ, 実際に解くと

\begin{aligned} (2) & \frac{1}{r_{\min}} & = \frac{1}{\sqrt{ρ^{2} + \frac{2 α}{m v_{\infty}^{2}}}} \end{aligned}

となる. $(1)$ , $(2)$ より

\begin{aligned} (3) & φ_{0} & = \frac{π}{2 \sqrt{1 + \frac{2 α}{m v_{\infty}^{2} ρ^{2}}}} \end{aligned}

となる.

ふれの角度は $φ_{0} = (π - χ) / 2$ に $(3)$ を代入して $χ$ について解いて,

\begin{aligned} (4) & χ & = π (1 - \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2 α}{m v_{\infty}^{2} ρ^{2}}}}) \end{aligned}

となる. $(4)$ を衝突パラメータ $ρ$ について解いて,

\begin{aligned} (5) & ρ^{2} & = \frac{2 α}{m v_{\infty}^{2}} \frac{{(π - χ)}^{2}}{χ (2 π - χ)} \end{aligned}

となる. 微分を考えると

\begin{aligned} (6) & \frac{m v_{\infty}^{2}}{2 α} \frac{d (ρ^{2})}{d χ} & = \frac{- 2 π^{2} (π - χ)}{χ^{2} {(2 π - χ)}^{2}} \end{aligned}

となる. $(5)$ , $(6)$ より, 有効断面積は

\begin{aligned} d σ & = 2 π ρ | \frac{d ρ}{d χ} | d χ \\ = π | \frac{d (ρ^{2})}{d χ} | d χ \\ (7) & = \frac{4 π^{3} α}{m v_{\infty}^{2}} \frac{π - χ}{χ^{2} {(2 π - χ)}^{2}} d χ \\ (8) & = \frac{2 π^{2} α}{m v_{\infty}^{2}} \frac{π - χ}{χ^{2} {(2 π - χ)}^{2}} \frac{d o}{\sin χ} \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.