ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§19の問題1の解説です.
問題
$U = \alpha / r^2$の場における散乱断面積を求めよ($\alpha > 0$).
解答作成
\begin{align}
\varphi_0 &= \int_{r_{\mathrm{min}}}^{\infty} \frac{\rho \frac{\mathrm{d}r}{r^2}}{\sqrt{1- \frac{\rho^2}{r^2} - \frac{2U}{m v_{\infty}^2}}} \tag{18.4}
\end{align}
に$U = \alpha / r^2$を代入して,
\begin{align}
\varphi &= \int_{r_{\mathrm{min}}}^{\infty} \frac{\rho \frac{\mathrm{d}r}{r^2}}{\sqrt{1- \left( \rho + \frac{2\alpha}{m v_{\infty}^2} \right) \frac{1}{r^2}}} \nonumber
\end{align}
となる. $s = 1 / r$の置換を利用して,
\begin{align}
\varphi_0 &= - \rho \int_{s_{\mathrm{max}}}^0 \frac{\mathrm{d}s}{\sqrt{1 - \left( \rho + \frac{2\alpha}{m v_{\infty}^2} \right) s^2}} \nonumber \\
&= \left[ \frac{\rho}{\sqrt{\rho + \frac{2\alpha}{m v_{\infty}^2}}} \sin^{-1} \left( \sqrt{\rho + \frac{2\alpha}{m v_{\infty}^2}} s \right) \right]_0^{s_{\mathrm{max}}} \nonumber \\
&= \frac{\rho}{\sqrt{\rho + \frac{2\alpha}{m v_{\infty}^2}}} \sin^{-1} \left( \sqrt{\rho + \frac{2\alpha}{m v_{\infty}^2}} \frac{1}{r_{\mathrm{min}}} \right) \label{eq_19-e1}
\end{align}
となる. ここで, $r_{\mathrm{min}}$は, 有効ポテンシャルの議論から
\begin{align}
E &= \frac{M^2}{2m r_{\mathrm{min}}^2} + \frac{\alpha}{r_{\mathrm{min}}^2} \nonumber
\end{align}
を解くことで与えられ, 実際に解くと
\begin{align}
\frac{1}{r_{\mathrm{min}}} &= \frac{1}{\sqrt{\rho^2 + \frac{2\alpha}{mv_{\infty}^2}}} \label{eq_19-e2}
\end{align}
となる. \eqref{eq_19-e1}, \eqref{eq_19-e2}より
\begin{align}
\varphi_0 &= \frac{\pi}{2 \sqrt{1 + \frac{2\alpha}{m v_{\infty}^2 \rho^2}}} \label{eq_19-e8}
\end{align}
となる.
ふれの角度は$\varphi_0 = \left( \pi - \chi \right) / 2$に\eqref{eq_19-e8}を代入して$\chi$について解いて,
\begin{align}
\chi &= \pi \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{2\alpha}{m v_{\infty}^2 \rho^2}}} \right) \label{eq_19-e3}
\end{align}
となる. \eqref{eq_19-e3}を衝突パラメータ$\rho$について解いて,
\begin{align}
\rho^2 &= \frac{2\alpha}{m v_{\infty}^2} \frac{\left( \pi - \chi \right)^2}{\chi \left( 2\pi - \chi \right)} \label{eq_19-e4}
\end{align}
となる. 微分を考えると
\begin{align}
\frac{m v_{\infty}^2}{2\alpha} \frac{\mathrm{d} \left( \rho^2 \right)}{\mathrm{d} \chi} &= \frac{-2\pi^2 \left( \pi - \chi \right)}{\chi^2 \left( 2\pi - \chi \right)^2} \label{eq_19-e5}
\end{align}
となる. \eqref{eq_19-e4}, \eqref{eq_19-e5}より, 有効断面積は
\begin{align}
\mathrm{d}\sigma &= 2\pi \rho \left| \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \chi} \right| \mathrm{d}\chi \nonumber \\
&= \pi \left| \frac{\mathrm{d} \left( \rho^2 \right)}{\mathrm{d} \chi} \right| \mathrm{d}\chi \nonumber \\
&= \frac{4\pi^3 \alpha}{mv_{\infty}^2} \frac{\pi - \chi}{\chi^2 \left( 2\pi - \chi \right)^2} \mathrm{d}\chi \\
&= \frac{2\pi^2 \alpha}{mv_{\infty}^2} \frac{\pi - \chi}{\chi^2 \left( 2\pi - \chi \right)^2} \frac{\mathrm{d}o}{\sin \chi}
\end{align}
となる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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