ランダウ力学 §24問題1 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§24の問題1の解説です.

目次[非表示]

1問題
2解答作成
3参考文献
4関連記事
5脚注

問題

3個の原子からなる対称な直線上の分子ABA(図28)の振動数を求めよ. 分子のポテンシャルエネルギーは距離AB, BAおよび角ABAにだけ依存すると仮定する.

図28

解答作成

$x$ 軸方向のLagrangianは,
$\begin{aligned} L & = \frac{m_{A}}{2} ({\dot{x}}_{1}^{2} + {\dot{x}}_{3}^{2}) + \frac{m_{B}}{2} {\dot{x}}_{2}^{2} \\ (1) & - \frac{k_{1}}{2} {{(x_{1} - x_{2})}^{2} + {(x_{3} - x_{2})}^{2}} \end{aligned}$
となる. 並進運動の消去
$\begin{aligned} m_{A} x_{1} + m_{B} x_{2} + m_{C} x_{3} = 0 \\ (2) & ∴ & x_{2} = - \frac{m_{A}}{m_{B}} (x_{1} + x_{3}) \end{aligned}$
により,
$\begin{aligned} L & = \frac{m_{A}}{2} ({\dot{x}}_{1}^{2} + {\dot{x}}_{3}^{2}) + \frac{m_{B}}{2} \frac{m_{A}^{2}}{m_{B}^{2}} {({\dot{x}}_{1} + {\dot{x}}_{3})}^{2} \\ - \frac{k_{1}}{2} {x_{1} + \frac{m_{A}}{m_{B}} (x_{1} + x_{3})}^{2} \\ (3) & - \frac{k_{1}}{2} {x_{3} + \frac{m_{A}}{m_{B}} (x_{1} + x_{3})}^{2} \end{aligned}$
となる. ここで, 新しい座標
$\begin{array}{r} {\begin{aligned} Q_{a} & = x_{1} + x_{3} \\ Q_{b} & = x_{1} - x_{3} \end{aligned} \end{array}$
を導入すると,
$\begin{array}{r} (4) & {\begin{aligned} x_{1} & = \frac{1}{2} (Q_{a} + Q_{b}) \\ x_{3} & = \frac{1}{2} (Q_{a} - Q_{b}) \end{aligned} \end{array}$
となる. $(3)$ , $(4)$ より,
$\begin{aligned} (5) & L & = \frac{m_{A} μ}{4 m_{B}} {\dot{Q}}_{a}^{2} + \frac{m_{A}}{4} {\dot{Q}}_{b}^{2} - \frac{k_{1} μ^{2}}{4 m_{B}^{2}} Q_{a}^{2} - \frac{k_{1}}{4} Q_{b}^{2} \end{aligned}$
となる( $μ = 2 m_{A} + m_{B}$ は, 分子全体の質量である). ゆえに, $Q_{a}$ , $Q_{b}$ は基準座標となる.
座標 $Q_{a}$ の振動数は
$\begin{aligned} (6) & ω_{a} & = \sqrt{\frac{k_{1} μ}{m_{A} m_{B}}} \end{aligned}$
となる. $(4)$ より, これは $x_{1} = x_{3}$ の振動に対応する. $(2)$ , $(4)$ より, それぞれの原子の振動は図28a)のようになる.

図28a)
座標 $Q_{b}$ の振動数は
$\begin{aligned} (7) & ω_{b} & = \sqrt{\frac{k_{1}}{m_{A}}} \end{aligned}$
となる. $(4)$ より, これは $x_{1} = - x_{3}$ の振動に対応する. $(2)$ , $(4)$ より, それぞれの原子の振動は図28b)のようになる.

図28b)
$y$ 軸方向のLagrangianは,
$\begin{aligned} (8) & L & = \frac{m_{A}}{2} ({\dot{y}}_{1}^{2} + {\dot{y}}_{3}^{2}) + \frac{m_{B}}{2} {\dot{y}}_{2}^{2} - \frac{k_{2} l^{2}}{2} δ^{2} \end{aligned}$
となる. ただし, $δ$ は角度ABAの $π$ からの差で,
$\begin{aligned} (9) & δ & = \frac{1}{l} {(y_{1} - y_{2}) + (y_{3} - y_{2})} \end{aligned}$
となる^*1. 並進運動の消去
$\begin{aligned} m_{A} y_{1} + m_{B} y_{2} + m_{C} y_{3} = 0 \\ (10) & ∴ & y_{2} = - \frac{m_{A}}{m_{B}} (y_{1} + y_{3}) \end{aligned}$
と回転運動の消去^*2
$\begin{aligned} (11) & y_{1} & = y_{3} \end{aligned}$
により,
$\begin{aligned} (12) & L & = \frac{m_{A} μ}{m_{B}} {\dot{y}}_{1}^{2} - \frac{k_{2} l^{2}}{2} δ^{2} \end{aligned}$
となる. ここから, $δ$ に関する振動数
$\begin{aligned} (13) & ω_{δ} & = \sqrt{\frac{2 k_{2} μ^{2}}{m_{A} m_{B}}} \end{aligned}$
が得られる.

本編での議論により, この分子の各運動の自由度は

一直線上での分子全体としての並進運動： $1$
一直線上での振動： $2$
一直線上からはずれる並進運動： $2$
一直線上からはずれる回転運動： $2$
一直線上からはずれる振動： $2$

となる. $x$ 軸方向のLagrangianから得られた振動数 $ω_{a}$ , $ω_{b}$ が, 「一直線上での振動： $2$ 」に対応する. $y$ 軸方向のLagrangianから得られた振動数 $ω_{δ}$ は「一直線上からはずれる振動： $2$ 」に対応するが, 対称性よりこの2つの自由度の振動はどちらも同じ振動数 $ω_{δ}$ をもつ.