ランダウ力学 §18問題5 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§18の問題5の解説です.

問題

$U = - \alpha / r^n \, (n > 2 , \alpha > 0)$の場合について同様に断面積を求めよ.

§18問題4は以下の通り.

$U = - \alpha / r^2$の場の中心に粒子の「到達」する有効断面積を決定せよ.

解答作成

有効ポテンシャルエネルギーは

\begin{align} U_{\text{有効}} (r) &= \frac{m\rho^2 v_{\infty}^2}{2r^2} - \frac{\alpha}{r^n} \end{align}

である.

\begin{align} \frac{\mathrm{d} U_{\text{有効}} (r)}{\mathrm{d} r} &= - \frac{m\rho^2 v_{\infty}^2}{r^3} + n \frac{\alpha}{r^{n+1}} \nonumber \end{align}

であるから, $\left. \mathrm{d} U_{\text{有効}} (r) / \mathrm{d}r \right|_{r=r_1} = 0$とすると,

\begin{align} r_1 &= \left( \frac{n\alpha}{m\rho^2 v_{\infty}^2} \right)^{\frac{1}{n-2}} \nonumber \end{align}

となる. 求めた$r_1$では極大値をとり,

\begin{align} U_{\text{有効}} (r_1) &= \frac{\left( n-2 \right) \alpha}{2} \left( \frac{m\rho^2 v_{\infty}^2}{n\alpha} \right)^{\frac{n}{n-2}} \label{eq_18-5e2} \end{align}

となる. (以上, 図1参照. )

図1

この有効ポテンシャルエネルギーの極大値を上回るエネルギーを有する粒子のみ, 中心に到達する.

\begin{align} E &= \frac{m v_{\infty}^2}{2} \nonumber \end{align}

であるから, その条件は

\begin{align} & U_{\text{有効}} (r_1) < E , \nonumber \\ & \frac{\left( n-2 \right) \alpha}{2} \left( \frac{m\rho^2 v_{\infty}^2}{n\alpha} \right)^{\frac{n}{n-2}} < \frac{m v_{\infty}^2}{2} , \nonumber \\ & \rho^2 < n \left( n - 2 \right)^{\frac{2-n}{n}} \left( \frac{\alpha}{mv_{\infty}^2} \right)^{\frac{2}{n}} \nonumber \end{align}

となる. ゆえに, 中心に到達する$\rho$の最大値$\rho_{\mathrm{max}}$は

\begin{align} \rho_{\mathrm{max}}^2 &= n \left( n - 2 \right)^{\frac{2-n}{n}} \left( \frac{\alpha}{mv_{\infty}^2} \right)^{\frac{2}{n}} \nonumber \end{align}

であり, 求める有効断面積は

\begin{align} \sigma &= \pi \rho_{\mathrm{max}}^2 = \pi n \left( n - 2 \right)^{\frac{2-n}{n}} \left( \frac{\alpha}{mv_{\infty}^2} \right)^{\frac{2}{n}} \end{align}

となる.

問題4と問題5の違い

$n=2$において, 有効ポテンシャルエネルギーは

\begin{align} U_{\text{有効}} (r) &= \frac{m\rho^2 v_{\infty}^2}{2r^2} - \frac{\alpha}{r^2} \nonumber \\ &= \frac{1}{r^2} \left( \frac{m\rho^2 v_{\infty}^2}{2} - \alpha \right) \end{align}

である. これは,

\begin{align} \rho < \sqrt{\frac{2\alpha}{mv_{\infty}^2}} \label{eq_18-5e1} \end{align}

を満たすときにのみ, 図2のような中心に到達しうるようなグラフになる. このとき, 任意の$r$で$U_{\text{有効}} < 0$であるから, 任意の$E>0$で中心に到達する. ゆえに, 条件\eqref{eq_18-5e1}を満たせばよいのである.

図2　係数が$+$の場合(上)と$-$の場合(下)の両方を示している
中心に到達しうるのは$-$の方

一方, $n>2$であれば(エネルギー$E$の値の制限はともかく)それだけで中心に到達しうるようなグラフになる. しかし, $U_{\text{有効}} > 0$である$r$の範囲が存在するので, \eqref{eq_18-5e2}以上のエネルギーを有していないと中心に到達しない.

問題4と問題5には, 以上のような違いがあるのである. ゆえに, 求め方も異なるように見えているのである.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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