ランダウ力学 §22問題1 解説

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§22の問題1の解説です.

問題

解答作成

1. 次の式
   \begin{align} x &= a \cos \left( \omega t + \alpha \right) + \frac{f}{m \left( \omega^2 - \gamma^2 \right)} \cos \left( \gamma t + \beta \right) \tag{22.4} \end{align}
   において, $\gamma = 0$, $\beta = 0$, $f = F_0$とすれば,
   \begin{align} x &= a \cos \left( \omega t + \alpha \right) + \frac{F_0}{m \omega^2} \label{eq_22-e1} \end{align}
   となる. これを時間微分すると,
   \begin{align} \dot{x} &= - a \omega \sin \left( \omega t + \alpha \right) \label{eq_22-e2} \end{align}
   となる.
   \eqref{eq_22-e1}, \eqref{eq_22-e2}に$t=0$を代入すると,
   \begin{align} \left\{ \begin{aligned} 0 &= a \cos \alpha + \frac{F_0}{m \omega^2} \\ 0 &= - a \omega \sin \alpha \end{aligned} \right. \nonumber \end{align}
   となる. $a=0$だと$F_0 / m \omega^2 = 0$となるので矛盾. よって, $\sin \alpha = 0$, そして$\cos \alpha = \pm 1$となる. この正負は$a$を考えることで消える. $a$は
   \begin{align} a &= \mp \frac{F_0}{m \omega^2} \nonumber \end{align}
   であるが, 振幅としては正の方, すなわち
   \begin{align} a &= \frac{F_0}{m \omega^2} \label{eq_22-e3} \end{align}
   の方を採用し, $\alpha$は$\cos \alpha = -1$の方を採用するから,
   \begin{align} \alpha &= \pi \label{eq_22-e4} \end{align}
   となる.
   \eqref{eq_22-e1}に\eqref{eq_22-e3}, \eqref{eq_22-e4}を代入すると
   \begin{align} x &= \frac{F_0}{m \omega^2} \cos \left( \omega t + \pi \right) + \frac{F_0}{m \omega^2} \nonumber \\ &= \frac{F_0}{m \omega^2} \left( 1 - \cos \omega t \right) \end{align}
   となる.
   
   
2. 次の式
   \begin{align} \xi &= e^{i \omega t} \left( \int_0^t \frac{1}{m} F(t) e^{-i \omega t} \, \mathrm{d}t + \xi_0 \right) \tag{22.10} \label{eq_22-m10} \end{align}
   に$F=at$を代入して,
   \begin{align} \xi &= e^{i \omega t} \left( \int_0^t \frac{at}{m} e^{-i \omega t} \, \mathrm{d}t + \xi_0 \right) \nonumber \\ &= i \frac{a}{m \omega} t + \frac{a}{m \omega^2} \left( 1 - e^{i \omega t} \right) + \frac{a \xi_0}{m} e^{i \omega t} \label{eq_22-e5} \end{align}
   となる.
   ここで,
   \begin{align} \xi &= \dot{x} + i \omega x \tag{22.9} \label{eq_22-m9} \end{align}
   であるから, $\xi(0) = 0$である. ゆえに, \eqref{eq_22-e5}より
   \begin{align} 0 &= \frac{a \xi_0}{m} \nonumber \\ \therefore \xi_0 &= 0 \label{eq_22-e6} \end{align}
   となる. \eqref{eq_22-e5}, \eqref{eq_22-e6}より
   \begin{align} \xi &= i \frac{a}{m \omega} t + \frac{a}{m \omega^2} \left( 1 - e^{i \omega t} \right) \label{eq_22-e7} \end{align}
   となる. また, \eqref{eq_22-m9}より
   \begin{align} \mathrm{Im} \, \xi &= \omega x \label{eq_22-e8} \end{align}
   となる. したがって, \eqref{eq_22-e7}, \eqref{eq_22-e8}より
   \begin{align} \omega x &= \frac{a}{m \omega} t - \frac{a}{m \omega^2} \sin \omega t \nonumber \\ \therefore x &= \frac{a}{m \omega^3} \left( \omega t - \sin \omega t \right) \end{align}
   となる.
   
   
3. \eqref{eq_22-m10}に代入して,
   \begin{align} \xi &= e^{i \omega t} \left( \int_0^t \frac{F_0 e^{-\alpha t}}{m} e^{-i \omega t} \, \mathrm{d}t + \xi_0 \right) \nonumber \\ &= \frac{F_0 \left( - \alpha + i \omega \right)}{m \left( \alpha^2 + \omega^2 \right)} \left( e^{-\alpha t} + e^{i \omega t} \right) + \frac{F_0 \xi_0}{m} e^{i \omega t} \end{align}
   となる. bと同様に$\xi_0 = 0$(\eqref{eq_22-e6}参照)であるから,
   \begin{align} \xi &= \frac{F_0 \left( - \alpha + i \omega \right)}{m \left( \alpha^2 + \omega^2 \right)} \left( e^{-\alpha t} + e^{i \omega t} \right) \end{align}
   である. そして, \eqref{eq_22-e8}も同様であるから,
   \begin{align} \omega x &= \frac{F_0}{m \left( \alpha^2 + \omega^2 \right)} \left( - \alpha \sin \omega t + \omega e^{- \alpha t} + \omega \cos \omega t \right) \nonumber \\ \therefore x &= \frac{F_0}{m \left( \alpha^2 + \omega^2 \right)} \left( - \frac{\alpha}{\omega} \sin \omega t + \cos \omega t + e^{- \alpha t} \right) \end{align}
   となる.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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