ランダウ力学 §22問題1 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§22の問題1の解説です.

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問題

力

F (t)

をうける系の強制振動を,

t = 0

では系はつり合いの位置に静止していた(

x = 0

\dot{x} = 0

)という初期条件の下で, つぎの場合について決定せよ：

$F = const = F_{0}$ .
$F = a t$ .
$F = F_{0} e^{- α t}$ .

解答作成

次の式
$\begin{aligned} (22.4) & x & = a \cos (ω t + α) + \frac{f}{m (ω^{2} - γ^{2})} \cos (γ t + β) \end{aligned}$
において, $γ = 0$ , $β = 0$ , $f = F_{0}$ とすれば,
$\begin{aligned} (1) & x & = a \cos (ω t + α) + \frac{F_{0}}{m ω^{2}} \end{aligned}$
となる. これを時間微分すると,
$\begin{aligned} (2) & \dot{x} & = - a ω \sin (ω t + α) \end{aligned}$
となる.
$(1)$ , $(2)$ に $t = 0$ を代入すると,
$\begin{array}{r} {\begin{aligned} 0 & = a \cos α + \frac{F_{0}}{m ω^{2}} \\ 0 & = - a ω \sin α \end{aligned} \end{array}$
となる. $a = 0$ だと $F_{0} / m ω^{2} = 0$ となるので矛盾. よって, $\sin α = 0$ , そして $\cos α = \pm 1$ となる. この正負は $a$ を考えることで消える. $a$ は
$\begin{aligned} a & = \mp \frac{F_{0}}{m ω^{2}} \end{aligned}$
であるが, 振幅としては正の方, すなわち
$\begin{aligned} (3) & a & = \frac{F_{0}}{m ω^{2}} \end{aligned}$
の方を採用し, $α$ は $\cos α = - 1$ の方を採用するから,
$\begin{aligned} (4) & α & = π \end{aligned}$
となる.
$(1)$ に $(3)$ , $(4)$ を代入すると
$\begin{aligned} x & = \frac{F_{0}}{m ω^{2}} \cos (ω t + π) + \frac{F_{0}}{m ω^{2}} \\ (5) & = \frac{F_{0}}{m ω^{2}} (1 - \cos ω t) \end{aligned}$
となる.
次の式
$\begin{aligned} (22.10) & ξ & = e^{i ω t} (\int_{0}^{t} \frac{1}{m} F (t) e^{- i ω t} d t + ξ_{0}) \end{aligned}$
に $F = a t$ を代入して,
$\begin{aligned} ξ & = e^{i ω t} (\int_{0}^{t} \frac{a t}{m} e^{- i ω t} d t + ξ_{0}) \\ (6) & = i \frac{a}{m ω} t + \frac{a}{m ω^{2}} (1 - e^{i ω t}) + \frac{a ξ_{0}}{m} e^{i ω t} \end{aligned}$
となる.
ここで,
$\begin{aligned} (22.9) & ξ & = \dot{x} + i ω x \end{aligned}$
であるから, $ξ (0) = 0$ である. ゆえに, $(6)$ より
$\begin{aligned} 0 & = \frac{a ξ_{0}}{m} \\ (7) & ∴ ξ_{0} & = 0 \end{aligned}$
となる. $(6)$ , $(7)$ より
$\begin{aligned} (8) & ξ & = i \frac{a}{m ω} t + \frac{a}{m ω^{2}} (1 - e^{i ω t}) \end{aligned}$
となる. また, $(22.9)$ より
$\begin{aligned} (9) & Im ξ & = ω x \end{aligned}$
となる. したがって, $(8)$ , $(9)$ より
$\begin{aligned} ω x & = \frac{a}{m ω} t - \frac{a}{m ω^{2}} \sin ω t \\ (10) & ∴ x & = \frac{a}{m ω^{3}} (ω t - \sin ω t) \end{aligned}$
となる.
$(22.10)$ に代入して,
$\begin{aligned} ξ & = e^{i ω t} (\int_{0}^{t} \frac{F_{0} e^{- α t}}{m} e^{- i ω t} d t + ξ_{0}) \\ (11) & = \frac{F_{0} (- α + i ω)}{m (α^{2} + ω^{2})} (e^{- α t} + e^{i ω t}) + \frac{F_{0} ξ_{0}}{m} e^{i ω t} \end{aligned}$
となる. bと同様に $ξ_{0} = 0$ ( $(7)$ 参照)であるから,
$\begin{aligned} (12) & ξ & = \frac{F_{0} (- α + i ω)}{m (α^{2} + ω^{2})} (e^{- α t} + e^{i ω t}) \end{aligned}$
である. そして, $(9)$ も同様であるから,
$\begin{aligned} ω x & = \frac{F_{0}}{m (α^{2} + ω^{2})} (- α \sin ω t + ω e^{- α t} + ω \cos ω t) \\ (13) & ∴ x & = \frac{F_{0}}{m (α^{2} + ω^{2})} (- \frac{α}{ω} \sin ω t + \cos ω t + e^{- α t}) \end{aligned}$
となる.