ランダウ力学 §20問題1 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§20の問題1の解説です.

問題

式

(20.3)

を

(18.4)

式から求めよ.

$(20.3)$ は

\begin{aligned} (20.3) & θ_{1} & = - \frac{2 ρ}{m_{1} v_{\infty}^{2}} \int_{ρ}^{\infty} \frac{d U}{d r} \frac{d r}{\sqrt{r^{2} - ρ^{2}}} \end{aligned}

であり, $(18.4)$ は

\begin{aligned} (18.4) & φ_{0} & = \int_{r_{\min}}^{\infty} \frac{ρ \frac{d r}{r^{2}}}{\sqrt{1 - \frac{ρ^{2}}{r^{2}} - \frac{2 U}{m v_{\infty}^{2}}}} \end{aligned}

である.

積分の見かけ上の発散を防ぐため, $(18.4)$ を

\begin{aligned} φ_{0} & = - \frac{\partial}{\partial ρ} \int_{r_{\min}}^{R} \sqrt{1 - \frac{ρ^{2}}{r^{2}} - \frac{2 U}{m v_{\infty}^{2}}} d r \end{aligned}

とする(後で $R \to \infty$ とする). この被積分関数を $U$ でTaylor展開すると,

\begin{aligned} φ_{0} & ≃ - \frac{\partial}{\partial ρ} \int_{r_{\min}}^{R} \sqrt{1 - \frac{ρ^{2}}{r^{2}}} d r + \frac{\partial}{\partial ρ} \int_{r_{\min}}^{R} \frac{U (r) d r}{m v_{\infty}^{2} \sqrt{1 - \frac{ρ^{2}}{r^{2}}}} d r \\ = \int_{r_{\min}}^{R} \frac{ρ d r}{r^{2} \sqrt{1 - \frac{ρ^{2}}{r^{2}}}} + \frac{\partial}{\partial ρ} {\frac{1}{m v_{\infty}^{2}} {[U (r) \sqrt{r^{2} - ρ^{2}}]}_{r_{\min}}^{R} \\ - \frac{1}{m v_{\infty}^{2}} \int_{r_{\min}}^{R} \sqrt{r^{2} - ρ^{2}} \frac{d U}{d r} d r} \end{aligned}

となる. ここで, $R \to \infty$ , および $r_{\min} \to ρ$ の近似を利用すれば,

\begin{aligned} (1) & \int_{ρ}^{\infty} \frac{ρ d r}{r^{2} \sqrt{1 - \frac{ρ^{2}}{r^{2}}}} & = \frac{π}{2}, \\ (2) & lim_{r \to ρ} U (r) \sqrt{r^{2} - ρ^{2}} & = 0, \\ (3) & lim_{r \to \infty} U (r) \sqrt{r^{2} - ρ^{2}} & = 0 \end{aligned}

である^*1 から,

\begin{aligned} φ_{0} & = \frac{π}{2} + \frac{ρ}{m v_{\infty}^{2}} \int_{ρ}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{r^{2} - ρ^{2}}} \frac{d U}{d r} d r \end{aligned}

となる. ゆえに, $χ = π - 2 φ_{0}$ より,

\begin{aligned} (4) & χ & = - \frac{2 ρ}{m v_{\infty}^{2}} \int_{ρ}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{r^{2} - ρ^{2}}} \frac{d U}{d r} d r \end{aligned}

となる. これは $(20.3)$ に等しい.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

*1 : $(1)$ は $u = ρ / r$ の置換を用いることで

\begin{aligned} \int_{ρ}^{\infty} \frac{ρ d r}{r^{2} \sqrt{1 - \frac{ρ^{2}}{r^{2}}}} & = \int_{0}^{1} \frac{d u}{\sqrt{1 - u^{2}}} = {[\sin^{- 1} u]}_{0}^{1} = \frac{π}{2} \end{aligned}

となる. $(2)$ に関しては $U (r)$ が発散するような点がないと考え, $(3)$ は $r \to \infty$ で $U (r)$ が急速に $0$ に近づくと考える.