ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§20の問題1の解説です.
問題
式\eqref{eq_20-m3}を\eqref{eq_18-m4}式から求めよ.
\eqref{eq_20-m3}は
\begin{align}
\theta_1 &= - \frac{2\rho}{m_1 v_{\infty}^2} \int_{\rho}^{\infty} \frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} r} \frac{\mathrm{d}r}{\sqrt{r^2 - \rho^2}} \tag{20.3} \label{eq_20-m3}
\end{align}
であり, \eqref{eq_18-m4}は
\begin{align}
\varphi_0 &= \int_{r_{\mathrm{min}}}^{\infty} \frac{\rho \frac{\mathrm{d}r}{r^2}}{\sqrt{1- \frac{\rho^2}{r^2} - \frac{2U}{m v_{\infty}^2}}} \tag{18.4} \label{eq_18-m4}
\end{align}
である.
解答作成
積分の見かけ上の発散を防ぐため, \eqref{eq_18-m4}を
\begin{align}
\varphi_0 &= - \frac{\partial }{\partial \rho} \int_{r_{\mathrm{min}}}^R \sqrt{1- \frac{\rho^2}{r^2} - \frac{2U}{m v_{\infty}^2}} \mathrm{d}r \nonumber
\end{align}
とする(後で$R \to \infty$とする). この被積分関数を$U$でTaylor展開すると,
\begin{align}
\varphi_0 &\simeq - \frac{\partial }{\partial \rho} \int_{r_{\mathrm{min}}}^R \sqrt{1- \frac{\rho^2}{r^2}} \mathrm{d}r + \frac{\partial }{\partial \rho} \int_{r_{\mathrm{min}}}^R \frac{U(r) \, \mathrm{d}r}{mv_{\infty}^2 \sqrt{1- \frac{\rho^2}{r^2}}} \mathrm{d}r \nonumber \\
&= \int_{r_{\mathrm{min}}}^R \frac{\rho\, \mathrm{d}r}{r^2 \sqrt{1- \frac{\rho^2}{r^2}}} + \frac{\partial }{\partial \rho} \left\{ \frac{1}{mv_{\infty}^2} \left[ U(r) \sqrt{r^2 - \rho^2} \right]_{r_{\mathrm{min}}}^R \right. \nonumber \\
&\qquad \left. - \frac{1}{mv_{\infty}^2} \int_{r_{\mathrm{min}}}^R \sqrt{r^2 - \rho^2} \frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} r} \mathrm{d}r \right\} \nonumber
\end{align}
となる. ここで, $R \to \infty$, および$r_{\mathrm{min}} \to \rho$の近似を利用すれば,
\begin{align}
\int_{\rho}^{\infty} \frac{\rho\, \mathrm{d}r}{r^2 \sqrt{1- \frac{\rho^2}{r^2}}} &= \frac{\pi}{2} , \label{eq_20-e1} \\
\lim_{r \to \rho} U(r) \sqrt{r^2 - \rho^2} &= 0 , \label{eq_20-e2} \\
\lim_{r \to \infty} U(r) \sqrt{r^2 - \rho^2} &= 0 \label{eq_20-e3}
\end{align}
である*1 から,
\begin{align}
\varphi_0 &= \frac{\pi}{2} + \frac{\rho}{mv_{\infty}^2} \int_{\rho}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{r^2 - \rho^2}} \frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} r} \mathrm{d}r \nonumber
\end{align}
となる. ゆえに, $\chi = \pi - 2 \varphi_0$より,
\begin{align}
\chi &= - \frac{2\rho}{mv_{\infty}^2} \int_{\rho}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{r^2 - \rho^2}} \frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} r} \mathrm{d}r
\end{align}
となる. これは\eqref{eq_20-m3}に等しい.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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脚注
*1 : \eqref{eq_20-e1}は$u = \rho / r$の置換を用いることで
\begin{align}
\int_{\rho}^{\infty} \frac{\rho\, \mathrm{d}r}{r^2 \sqrt{1- \frac{\rho^2}{r^2}}} &= \int_0^1 \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^2}} = \left[ \sin^{-1} u \right]_0^1 = \frac{\pi}{2} \nonumber
\end{align}
となる. \eqref{eq_20-e2}に関しては$U(r)$が発散するような点がないと考え, \eqref{eq_20-e3}は$r \to \infty$で$U(r)$が急速に$0$に近づくと考える.
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