ランダウ力学 §22問題4 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§22の問題4の解説です.

問題

時間

0

から

T

のあいだ,

F = F_{0} t / T

にしたがって力が働く場合に(図26), 上と同様の問題を解け.

図26

問題2は以下の通り.

t < 0

に対して

F = 0

0 < t < T

に対して

F = F_{0} t / T

t > T

に対して

F = F_{0}

という法則(図24)にしたがって外力が働いたのちに, 系の振動がもつ最終的な振幅を求めよ. 時刻

t = 0

までは, 系はつり合いの位置に静止している.

ここでは変位 $x$ ではなく, 次の複素量

\begin{aligned} (22.9) & ξ & = \dot{x} + i ω x \end{aligned}

を利用して考える. $ξ$ に関する次の公式

\begin{aligned} (22.10) & ξ & = e^{i ω t} (\int_{0}^{t} \frac{1}{m} F (t) e^{- i ω t} d t + ξ_{0}) \end{aligned}

において, 初期条件より $ξ_{0} = 0$ とし, 与えられた $F (t)$ を代入すると, $t > T$ では

\begin{aligned} ξ & = e^{i ω t} \int_{0}^{T} \frac{F_{0}}{m T} t e^{- i ω t} d t \\ (1) & = \frac{F_{0}}{m T ω^{2}} e^{i ω t} {(e^{- i ω T} - 1) + i T ω e^{- i ω T}} \end{aligned}

となる. 次の式

\begin{aligned} (22.11) & E & = \frac{m}{2} {| ξ |}^{2} \end{aligned}

に $(1)$ を代入して系のエネルギーを計算すると

\begin{aligned} (2) & E & = \frac{F_{0}^{2}}{2 m T^{2} ω^{4}} {T^{2} ω^{2} - 2 T ω \sin ω T + 2 (1 - \cos ω T)} \end{aligned}

となる. $t > T$ では自由振動をする(外力が働かない)はずなので, 振幅を $a$ とすると

\begin{aligned} (3) & E & = \frac{m}{2} ω^{2} a^{2} \end{aligned}

となるべきである. $(2)$ , $(3)$ より,

\begin{aligned} \frac{m}{2} ω^{2} a^{2} & = \frac{F_{0}^{2}}{2 m T^{2} ω^{4}} {T^{2} ω^{2} - 2 T ω \sin ω T + 2 (1 - \cos ω T)} \\ a^{2} & = \frac{F_{0}^{2}}{m^{2} T^{2} ω^{6}} {T^{2} ω^{2} - 2 T ω \sin ω T + 2 (1 - \cos ω T)} \\ (4) & ∴ a & = \frac{F_{0}}{m T ω^{3}} \sqrt{T^{2} ω^{2} - 2 T ω \sin ω T + 2 (1 - \cos ω T)} \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.