ランダウ力学 §18問題2 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§18の問題2の解説です.

問題

上(問題1)と同じ場合, 有効断面積を, 散乱された粒子の失ったエネルギー$\varepsilon$の関数として表せ.

解答作成

エネルギー保存則により, 質点$m_1$の失ったエネルギーは, 質点$m_2$の得たエネルギーに一致する.

\begin{align} \left\{ \begin{aligned} v_1' &= \frac{\sqrt{m_1^2 + m_2^2 2 m_1 m_2 \cos \chi}}{m_1 + m_2} v , \\ v_2' &= \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v \sin \frac{\chi}{2} \end{aligned} \right. \tag{17.5} \end{align}

より,

\begin{align} \varepsilon &= \frac{1}{2} m_2 \left( v_2' \right)^2 \nonumber \\ &= \frac{2m_1^2 m_2}{\left( m_1 + m_2 \right)^2} v^2 \sin^2 \frac{\chi}{2} \nonumber \\ &= \frac{2m_1^2 m_2}{\left( m_1 + m_2 \right)^2} v_{\infty}^2 \sin^2 \frac{\chi}{2} \nonumber \\ &= \varepsilon_{\mathrm{max}} \frac{1 - \cos \chi}{2} \nonumber \end{align}

となる(ただし, $v_1 = v_{\infty}$, $v_2 = 0$, $\bm{v} = \bm{v}_1 - \bm{v}_2$より, $v = v_{\infty}$となる. そして,

\begin{align} \varepsilon_{\mathrm{max}} &= \frac{2m_1^2 m_2}{\left( m_1 + m_2 \right)^2} v_{\infty}^2 \end{align}

は, $\chi = \pi$のときの$\varepsilon$の最大値である). ゆえに,

\begin{align} \frac{\mathrm{d} \varepsilon}{\mathrm{d} \chi} &= \frac{1}{2} \varepsilon_{\mathrm{max}} \sin \chi \nonumber \end{align}

であるから, これを§18問題1の結果

\begin{align} \mathrm{d}\sigma &= \frac{\pi a^2}{2} \sin \chi \, \mathrm{d}\chi \nonumber \end{align}

に代入して

\begin{align} \mathrm{d}\sigma &= \pi a^2 \frac{\mathrm{d}\varepsilon}{\varepsilon_{\mathrm{max}}} \end{align}

となる.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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