ランダウ力学 §18問題2 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§18の問題2の解説です.

問題

上(問題1)と同じ場合, 有効断面積を, 散乱された粒子の失ったエネルギー

ε

の関数として表せ.

エネルギー保存則により, 質点 $m_{1}$ の失ったエネルギーは, 質点 $m_{2}$ の得たエネルギーに一致する.

\begin{array}{r} (17.5) & {\begin{aligned} v_{1}^{'} & = \frac{\sqrt{m_{1}^{2} + m_{2}^{2} 2 m_{1} m_{2} \cos χ}}{m_{1} + m_{2}} v, \\ v_{2}^{'} & = \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v \sin \frac{χ}{2} \end{aligned} \end{array}

より,

\begin{aligned} ε & = \frac{1}{2} m_{2} {(v_{2}^{'})}^{2} \\ = \frac{2 m_{1}^{2} m_{2}}{{(m_{1} + m_{2})}^{2}} v^{2} \sin^{2} \frac{χ}{2} \\ = \frac{2 m_{1}^{2} m_{2}}{{(m_{1} + m_{2})}^{2}} v_{\infty}^{2} \sin^{2} \frac{χ}{2} \\ = ε_{\max} \frac{1 - \cos χ}{2} \end{aligned}

となる(ただし, $v_{1} = v_{\infty}$ , $v_{2} = 0$ , $v = v_{1} - v_{2}$ より, $v = v_{\infty}$ となる. そして,

\begin{aligned} (1) & ε_{\max} & = \frac{2 m_{1}^{2} m_{2}}{{(m_{1} + m_{2})}^{2}} v_{\infty}^{2} \end{aligned}

は, $χ = π$ のときの $ε$ の最大値である). ゆえに,

\begin{aligned} \frac{d ε}{d χ} & = \frac{1}{2} ε_{\max} \sin χ \end{aligned}

であるから, これを§18問題1の結果

\begin{aligned} d σ & = \frac{π a^{2}}{2} \sin χ d χ \end{aligned}

に代入して

\begin{aligned} (2) & d σ & = π a^{2} \frac{d ε}{ε_{\max}} \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.