無衝突Boltzmann方程式(collisionless Boltzmann equation)とは, あるポテンシャル下で運動する, 恒星系(必ずしもそれに限らないが)の位相空間$(\bm{r}, \bm{v})$上の分布関数$f(\bm{r}, \bm{v})$の時間発展を与える式である. Jeans方程式(Jeans equation)とは, 無衝突Boltzmann方程式を速度空間で平均化した方程式である. ここでは, 無衝突Boltzmann方程式について紹介し, 無衝突Boltzmann方程式からJeans方程式を導く.
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恒星系の分布関数
「恒星系の分布関数」$f$とは, 一般には以下のように定義される.
- $f(\bm{r}, \bm{v}, t) \, \mathrm{d}^3\bm{r} \mathrm{d}^3\bm{v}$：ある時刻$t$において, 位相空間のある位置$(\bm{r}, \bm{v})$における微小体積要素$\mathrm{d}^3\bm{r} \mathrm{d}^3\bm{v}$における存在確率
これを用いると, ある時刻$t$において, 空間位置$\bm{r}$における数密度$n(\bm{r}, t)$は
\begin{align}
n(\bm{r}, t) &= \int f(\bm{r}, \bm{v}, t) \, \mathrm{d}^3\bm{v}
\end{align}
と書ける. また, 各方向の平均速度$\Braket{v_i}$は,
\begin{align}
\Braket{v_i} &= \frac{1}{n} \int v_i f \, \mathrm{d}^3\bm{v}
\end{align}
と書ける.
無衝突Boltzmann方程式
- 無衝突系(collisionless)：位相空間の各位置において, 恒星が新たに生まれたりあるいは死んだりして数が変化せず, また恒星同士が衝突しない系
無衝突系であれば, 恒星系の分布関数は位相空間における連続の式に従う：
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial t} + \sum_{i = 1}^3 \frac{\partial \left( f \dot{x}_i \right)}{\partial x_i} + \sum_{i = 1}^3 \frac{\partial \left( f \dot{v}_i \right)}{\partial v_i} &= 0 . \label{eq_cb1}
\end{align}
ここで,
- $\dot{x}_i = v_i$と$x_i$は互いに独立
- 運動方程式より$\dot{v}_i$は$x_i$だけの関数
であるから, 式\eqref{eq_cb1}より
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial t} + \bm{v} \cdot \nabla f + \dot{\bm{v}} \cdot \frac{\partial f}{\partial \bm{v}} &= 0
\end{align}
となり, 運動方程式
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} \bm{v}}{\mathrm{d} t} &= - \nabla \Phi
\end{align}
より
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\frac{\partial f}{\partial t} + \bm{v} \cdot \nabla f - \nabla \Phi \cdot \frac{\partial f}{\partial \bm{v}} = 0} \label{eq_cb2}
\end{align}
となる(無衝突Boltzmann方程式(collisionless Boltzmann equation)).
Jeans方程式
速度空間上での積分
式\eqref{eq_cb2}の両辺を速度空間上で積分する. 各項計算すると, 第1項は
\begin{align}
\int \frac{\partial f}{\partial t} \mathrm{d}^3\bm{v} &= \frac{\partial}{\partial t} \int f \, \mathrm{d}^3\bm{v} = \frac{\partial n}{\partial t}
\end{align}
となり, 第2項は
\begin{align}
\int v_i \frac{\partial f}{\partial x_i} \, \mathrm{d}^3\bm{v} &= \int \frac{\partial \left( f v_i \right)}{\partial x_i} \, \mathrm{d}^3\bm{v} \nonumber \\
&= \frac{\partial}{\partial x_i} \int f v_i \, \mathrm{d}^3\bm{v} \nonumber \\
&= \frac{\partial \left( n \Braket{v_i} \right)}{\partial x_i}
\end{align}
となる. 最後の項は,
- $\Phi$は$\bm{v}$には依存しないこと
- $v \to \infty$で十分速く$f \to 0$になること
を利用すれば, Gaussの発散定理より表面項のみが残り,
\begin{align}
\int \frac{\partial \Phi}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial v_i} \, \mathrm{d}^3\bm{v} = \int \frac{\partial}{\partial v_i} \left( f \frac{\partial \Phi}{\partial x_i} \right) \, \mathrm{d}^3\bm{v} = 0
\end{align}
となる. 以上から,
\begin{align}
\frac{\partial n}{\partial t} + \sum_{i = 1}^3 \frac{\partial \left( n \Braket{v_i} \right)}{\partial x_i} &= 0 \label{eq_Jeans1}
\end{align}
となる.
$v_i$のモーメントをかけて積分
式\eqref{eq_cb2}に$v_i$のモーメントをかけて積分する. 各項計算すると, 第1項は
\begin{align}
\int v_j \frac{\partial f}{\partial t} \, \mathrm{d}^3\bm{v} &= \int \frac{\partial \left( f v_j \right)}{\partial t} \, \mathrm{d}^3\bm{v} = \frac{\partial}{\partial t} \int f v_j \, \mathrm{d}^3\bm{v} = \frac{\partial \left( n \Braket{v_j} \right)}{\partial t}
\end{align}
となり, 第2項は
\begin{align}
\int v_i v_j \frac{\partial f}{\partial x_i} \, \mathrm{d}^3\bm{v} &= \int \frac{\partial \left( f v_i v_j \right)}{\partial x_i} \, \mathrm{d}^3\bm{v} \nonumber \\
&= \frac{\partial}{\partial x_i} \int f v_i v_j \, \mathrm{d}^3\bm{v} \nonumber \\
&= \frac{\partial \left( n \Braket{v_i v_j} \right)}{\partial x_i}
\end{align}
となる. 最後の項は,
- $\Phi$は$\bm{v}$には依存しないこと
- $v \to \infty$で十分速く$f \to 0$になること
- $\partial v_j / \partial v_i = \delta_{ij}$
を利用すれば,
\begin{align}
\int v_j \frac{\partial \Phi}{\partial x_i} \frac{\partial f}{\partial v_i} \, \mathrm{d}^3\bm{v} &= \frac{\partial \Phi}{\partial x_i} \int v_j \frac{\partial f}{\partial v_i} \, \mathrm{d}^3\bm{v} \nonumber \\
&= \frac{\partial \Phi}{\partial x_i} \int \left( \frac{\partial \left( f v_j \right)}{\partial v_i} - f \frac{\partial v_j}{\partial v_i} \right) \, \mathrm{d}^3\bm{v} \nonumber \\
&= - \frac{\partial \Phi}{\partial x_i} n \delta_{ij} \nonumber \\
&= - n \frac{\partial \Phi}{\partial x_j}
\end{align}
となる. 以上から,
\begin{align}
\frac{\partial \left( n \Braket{v_j} \right)}{\partial t} + \sum_{i = 1}^3 \frac{\partial \left( n \Braket{v_i v_j} \right)}{\partial x_i} + n \frac{\partial \Phi}{\partial x_j} &= 0 , \label{eq_Jeans4}
\end{align}
つまり
\begin{align}
\frac{\partial n}{\partial t} \Braket{v_j} + n \frac{\partial \Braket{v_j}}{\partial t} + \sum_{i = 1}^3 \frac{\partial \left( n \Braket{v_i v_j} \right)}{\partial x_i} + n \frac{\partial \Phi}{\partial x_j} &= 0 , \label{eq_Jeans2}
\end{align}
Jeans方程式
式\eqref{eq_Jeans1}, \eqref{eq_Jeans2}から$\partial n / \partial t$を消去すれば,
\begin{align}
- \Braket{v_j} \sum_{i = 1}^3 \frac{\partial \left( n \Braket{v_i} \right)}{\partial x_i} + n \frac{\partial \Braket{v_j}}{\partial t} + \sum_{i = 1}^3 \frac{\partial \left( n \Braket{v_i v_j} \right)}{\partial x_i} + n \frac{\partial \Phi}{\partial x_j} &= 0
\end{align}
となる. 速度分散$\sigma_{ij}$を
\begin{align}
\sigma_{ij}^2 &= \Braket{\left( v_i - \Braket{v_i} \right) \left( v_j - \Braket{v_j} \right)} = \Braket{v_i v_j} - \Braket{v_i} \Braket{v_j}
\end{align}
のように導入すれば, 整理することで
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{n \frac{\partial \Braket{v_j}}{\partial t} + \sum_{i = 1}^3 n \Braket{v_i} \frac{\partial \Braket{v_j}}{\partial x_i} = - n \frac{\partial \Phi}{\partial x_j} - \sum_{i = 1}^3 \frac{\partial \left( n \sigma_{ij}^2 \right)}{\partial x_i}} \label{eq_Jeans3}
\end{align}
を得る(Jeans方程式(Jeans equation)).
球対称Jeans方程式
球対称Jeans方程式(微分形)
ここでは, 球対称なJeans方程式を考えていく.
式\eqref{eq_cb2}を球座標で記述すると,
\begin{align}
\frac{\partial f}{\partial t} + v_r \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r} \frac{\partial f}{\partial \theta} + \frac{v_\phi}{r \sin \theta} \frac{\partial f}{\partial \phi} + \dot{v}_r \frac{\partial f}{\partial v_r} + \dot{v}_\theta \frac{\partial f}{\partial v_\theta} + \dot{v}_\phi \frac{\partial f}{\partial v_\phi} &= 0 \label{eq_symJeans1}
\end{align}
となる. ここで, 座標微分と速度成分の関係は
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
v_r &= \dot{r} , \\
v_\theta &= r \dot{\theta} , \\
v_\phi &= r \sin \theta \cdot \dot{\phi}
\end{aligned}
\right.
\end{align}
であり, また速度成分の微分は
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
\dot{v}_r &= \frac{v_\theta^2 + v_\phi^2}{r} - \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} r} , \\
\dot{v}_\theta &= \frac{v_\phi^2 \cot \theta - v_r v_\theta}{r} , \\
\dot{v}_\phi &= - \frac{v_\phi v_r + v_\phi v_\theta \cot \theta}{r}
\end{aligned}
\right. \label{eq_symJeans2}
\end{align}
となることに注意せよ($\Phi$は$r$にしか依存しないと仮定している).
式\eqref{eq_symJeans1}をそのまま速度空間上で積分する. 式\eqref{eq_symJeans1}をそのまま速度空間上で積分した結果は,
- $v \to \infty$で十分速く$f \to 0$になること
を利用すれば,
\begin{align}
\frac{\partial n}{\partial t} + \frac{\partial \left( n \Braket{v_r} \right)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial \left( n \Braket{v_\theta} \right)}{\partial \theta} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial \left( n \Braket{v_\phi} \right)}{\partial \phi} + n \frac{2 \Braket{v_r}}{r} + n \frac{\Braket{v_\theta} \cot \theta}{r} &= 0 \label{eq_symJeans3}
\end{align}
となる.
式\eqref{eq_symJeans1}に$v_r$をかけて, 速度空間上で積分する. 式\eqref{eq_symJeans3}を考慮すれば,
\begin{align}
& \quad n \frac{\partial \Braket{v_r}}{\partial t} + n \left( \Braket{v_r} \frac{\partial \Braket{v_r}}{\partial r} + \frac{\Braket{v_\theta}}{r} \frac{\partial \Braket{v_r}}{\partial \theta} + \frac{\Braket{v_\phi}}{r \sin \theta} \frac{\partial \Braket{v_r}}{\partial \phi} \right) \nonumber \\
&\quad + \frac{\partial \left( n \sigma_{rr}^2 \right)}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial \left( n \sigma_{r \theta}^2 \right)}{\partial \theta} + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial \left( n \sigma_{r \phi}^2 \right)}{\partial \phi} \nonumber \\
&\quad + \frac{n}{r} \left\{ 2 \sigma_{rr}^2 - \left( \sigma_{\theta \theta}^2 + \sigma_{\phi \phi}^2 + \Braket{v_\theta}^2 + \Braket{v_\phi}^2 \right) + \sigma_{r \theta}^2 \cot \theta \right\} \nonumber \\
&= - n \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} r} \label{eq_symJeans4}
\end{align}
となる.
式\eqref{eq_symJeans4}に, さまざまな仮定を加えていく.
- 分布関数の球面対称性を仮定する.
- 定常状態を考え, $\partial / \partial t = 0$
- 平均からの差を考え, $\Braket{v_r} = \Braket{v_\theta} = \Braket{v_\phi} = 0$
- 視線速度と接線速度には特に相関関係はなく, $\sigma_{r \theta}^2 = \sigma_{r \phi}^2 = 0$
- $\sigma_{rr}^2 = \sigma_r^2$, $\sigma_{\theta \theta}^2 = \sigma_\theta^2$, $\sigma_{\phi \phi}^2 = \sigma_\phi^2$と書く
これらを用いれば,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} \left( n \sigma_r^2 \right)}{\mathrm{d} r} + \frac{n}{r} \left( 2 \sigma_r^2 - \sigma_\theta^2 - \sigma_\phi^2 \right) &= - n \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} r} \\
\therefore \frac{1}{n} \frac{\mathrm{d} \left( n \sigma_r^2 \right)}{\mathrm{d} r} + \frac{2 \sigma_r^2 - \sigma_\theta^2 - \sigma_\phi^2}{r} &= - \frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} r}
\end{align}
となる. 異方性パラメータ$\beta$を
\begin{align}
\beta &= 1 - \frac{\sigma_\theta^2 + \sigma_\phi^2}{2 \sigma_r^2}
\end{align}
とすれば,
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\frac{1}{n(r)} \frac{\mathrm{d} \left( n(r) \sigma_r^2(r) \right)}{\mathrm{d} r} + \frac{2 \beta(r) \sigma_r^2(r)}{r} = - \frac{\mathrm{d} \Phi(r)}{\mathrm{d} r}} \label{eq_symJeans5}
\end{align}
を得る. 式\eqref{eq_symJeans5}を, 球面対称性を仮定したJeans方程式という.
球対称Jeans方程式(積分形)
式\eqref{eq_symJeans5}は$n(r) \sigma_r^2(r)$に関する非同次1階線形微分方程式である. まず同次方程式
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} \left( n(r) \sigma_r^2(r) \right)}{\mathrm{d} r} + \frac{2 \beta_{\mathrm{ani}}(r)}{r} n(r) \sigma_r^2(r) = 0
\end{align}
を考えると, その解は
\begin{align}
n(r) \sigma_r^2(r) &= C \exp \left[ - \int_\infty^r \mathrm{d}r^\prime \frac{2 \beta_{\mathrm{ani}}(r^\prime)}{r^\prime} \right] = C \exp \left[ \int_r^\infty \mathrm{d}r^\prime \frac{2 \beta_{\mathrm{ani}}(r^\prime)}{r^\prime} \right] \label{eq_homogeneous_sol}
\end{align}
となる($C$：任意定数). 次に, 非同次方程式
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} \left( n(r) \sigma_r^2(r) \right)}{\mathrm{d} r} + \frac{2 \beta_{\mathrm{ani}}(r)}{r} n(r) \sigma_r^2(r) = - n(r) \frac{\mathrm{d} \Phi(r)}{\mathrm{d} r} \label{eq_non-homogeneous_diff}
\end{align}
を考えるために, 式\eqref{eq_homogeneous_sol}の任意定数$C$を関数$C(r)$に置き換える(定数変化法). 式\eqref{eq_homogeneous_sol}の任意定数$C$を関数$C(r)$に置き換えたものを式\eqref{eq_non-homogeneous_diff}に代入すると,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} C(r)}{\mathrm{d} r} &= - n(r) \frac{\mathrm{d} \Phi(r)}{\mathrm{d} r} \exp \left[ - \int_r^\infty \mathrm{d}r^\prime \frac{2 \beta_{\mathrm{ani}}(r^\prime)}{r^\prime} \right]
\end{align}
となり, これを積分すると
\begin{align}
C(r) &= - \int_\infty^r \mathrm{d}r^{\prime \prime} \, n(r^{\prime \prime}) \frac{\mathrm{d} \Phi(r^{\prime \prime})}{\mathrm{d} r^{\prime \prime}} \exp \left[ - \int_{r^{\prime \prime}}^\infty \mathrm{d}r^\prime \frac{2 \beta_{\mathrm{ani}}(r^\prime)}{r^\prime} \right] \nonumber \\
&= \int_r^\infty \mathrm{d}r^{\prime \prime} \, n(r^{\prime \prime}) \frac{\mathrm{d} \Phi(r^{\prime \prime})}{\mathrm{d} r^{\prime \prime}} \exp \left[ - \int_{r^{\prime \prime}}^\infty \mathrm{d}r^\prime \frac{2 \beta_{\mathrm{ani}}(r^\prime)}{r^\prime} \right]
\end{align}
となる. ゆえに, 非同次方程式\eqref{eq_non-homogeneous_diff}の解は
\begin{align}
n(r) \sigma_r^2(r) &= \int_r^\infty \mathrm{d}r^{\prime \prime} \, n(r^{\prime \prime}) \frac{\mathrm{d} \Phi(r^{\prime \prime})}{\mathrm{d} r^{\prime \prime}} \exp \left[ - \int_{r^{\prime \prime}}^\infty \mathrm{d}r^\prime \frac{2 \beta_{\mathrm{ani}}(r^\prime)}{r^\prime} \right] \exp \left[ - \int_\infty^r \mathrm{d}r^\prime \frac{2 \beta_{\mathrm{ani}}(r^\prime)}{r^\prime} \right] \nonumber \\
&= \int_r^\infty \mathrm{d}r^{\prime \prime} \, n(r^{\prime \prime}) \frac{\mathrm{d} \Phi(r^{\prime \prime})}{\mathrm{d} r^{\prime \prime}} \exp \left[ - \int_{r^{\prime \prime}}^r \mathrm{d}r^\prime \frac{2 \beta_{\mathrm{ani}}(r^\prime)}{r^\prime} \right] \nonumber \\
&= \int_r^\infty \mathrm{d}r^\prime \, n(r^\prime) \frac{\mathrm{d} \Phi(r^\prime)}{\mathrm{d} r^\prime} \exp \left[ - \int_{r^\prime}^r \mathrm{d}r^{\prime \prime} \frac{2 \beta_{\mathrm{ani}}(r^{\prime \prime})}{r^{\prime \prime}} \right] \nonumber \\
&= \int_r^\infty \mathrm{d}r^\prime \, n(r^\prime) \frac{\mathrm{d} \Phi(r^\prime)}{\mathrm{d} r^\prime} \exp \left[ \int_r^{r^\prime} \mathrm{d}r^{\prime \prime} \frac{2 \beta_{\mathrm{ani}}(r^{\prime \prime})}{r^{\prime \prime}} \right]
\end{align}
となる. したがって, 結果としてJeans方程式の積分形
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\sigma_r^2(r) = \frac{1}{n(r)} \int_r^\infty \mathrm{d}r^\prime \, n(r^\prime) \frac{\mathrm{d} \Phi(r^\prime)}{\mathrm{d} r^\prime} \exp \left[ \int_r^{r^\prime} \mathrm{d}r^{\prime \prime} \frac{2 \beta_{\mathrm{ani}}(r^{\prime \prime})}{r^{\prime \prime}} \right]} \label{eq_Jeans_int}
\end{align}
が得られる.
このような表式であれば, 速度分散$\sigma_r^2$の分布から右辺の重力場$\Phi(r)$を求めることができることが, より明示的になる.
ビリアル定理
Jeans方程式をさらに座標空間でモーメント積分をとることによって, 位置によらないその恒星系の大局的な力学関係を調べることができる.
テンソルビリアル定理
式\eqref{eq_Jeans4}の両辺に$m x_k$をかけて($m$：恒星の典型的な質量, これをかけて$n(r)$を質量密度$\rho(r)$にする)空間全体で積分すると,
\begin{align}
\int x_k \frac{\partial \rho \Braket{v_j}}{\partial t} \, \mathrm{d}^3\bm{x} + \int x_k \sum_{i = 1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \rho \Braket{v_i v_j} \right) \, \mathrm{d}^3\bm{x} + \int \rho x_k \frac{\partial \Phi}{\partial x_j} \, \mathrm{d}^3\bm{x} &= 0 \label{eq_Virial_1}
\end{align}
が得られる. 以下では, $x \to \infty$で$\rho \to 0$の場合を考える. 式\eqref{eq_Virial_1}の第2項は,
\begin{align}
\int x_k \sum_{i = 1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \rho \Braket{v_i v_j} \right) \, \mathrm{d}^3\bm{x} &= \int \left( \sum_{i = 1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} \left( \rho \Braket{v_i v_j} x_k \right) - \sum_{i = 1}^3 \rho \Braket{v_i v_j} \frac{\partial x_k}{\partial x_i} \right) \, \mathrm{d}^3\bm{x} \nonumber \\
&= - \int \rho \Braket{v_j v_k} \, \mathrm{d}^3\bm{x}
\end{align}
となる. ゆえに,
- $K_{jk}$：運動エネルギーテンソル
- $W_{jk}$：ポテンシャルエネルギーテンソル
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{K_{jk} = \frac{1}{2} \int \rho \Braket{v_j v_k} \, \mathrm{d}^3\bm{x}}
\end{align}
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{W_{jk} = - \int \rho x_k \frac{\partial \Phi}{\partial x_j} \, \mathrm{d}^3\bm{x}}
\end{align}
を用いると, 式\eqref{eq_Virial_1}は
\begin{align}
\int x_k \frac{\partial \rho \Braket{v_j}}{\partial t} \, \mathrm{d}^3\bm{x} &= 2 K_{jk} + W_{jk} \label{eq_Virial_2}
\end{align}
と書ける. 式\eqref{eq_Virial_2}の右辺は$i$と$j$の入れ替えに関して対称である*1から, $i$と$j$を入れ替えたものとの和をとって2で割ると,
\begin{align}
\frac{1}{2} \left( \int x_k \frac{\partial \rho \Braket{v_j}}{\partial t} \, \mathrm{d}^3\bm{x} + \int x_j \frac{\partial \rho \Braket{v_k}}{\partial t} \, \mathrm{d}^3\bm{x} \right) &= 2 K_{jk} + W_{jk} , \nonumber \\
\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( \int \rho \left( \Braket{v_j} x_k + x_j \Braket{v_k} \right) \, \mathrm{d}^3\bm{x} \right) &= 2 K_{jk} + W_{jk}
\end{align}
となる. 一方,
- $I_{jk}$：慣性モーメントテンソル
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{I_{jk} = \int \rho x_j x_k \, \mathrm{d}^3\bm{x}}
\end{align}
を定義すれば, 式\eqref{eq_Jeans1}と発散定理を用いると,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} I_{jk}}{\mathrm{d} t} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \int \rho x_j x_k \, \mathrm{d}^3\bm{x} \nonumber \\
&= \int \frac{\partial \rho}{\partial t} x_j x_k \, \mathrm{d}^3\bm{x} \nonumber \\
&= - \sum_{i = 1}^3 \int \frac{\partial \rho \Braket{v_i}}{\partial x_i} x_j x_k \, \mathrm{d}^3\bm{x} \nonumber \\
&= - \sum_{i = 1}^3 \int \frac{\partial \left( \rho \Braket{v_i} x_j x_k \right)}{\partial x_i} \, \mathrm{d}^3\bm{x} + \sum_{i = 1}^3 \int \rho \Braket{v_i} \frac{\partial \left( x_j x_k \right)}{\partial x_i} \, \mathrm{d}^3\bm{x} \nonumber \\
&= \sum_{i = 1}^3 \int \rho \Braket{v_i} \frac{\partial \left( x_j x_k \right)}{\partial x_i} \nonumber \\
&= \int \rho \left( \Braket{v_j} x_k + x_j \Braket{v_k} \right) \, \mathrm{d}^3\bm{x}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{\mathrm{d} I_{jk}}{\mathrm{d} t} &= 2K_{jk} + W_{jk}
\end{align}
が成り立つ. ゆえに, 最終的には
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}^2 I_{jk}}{\mathrm{d} t^2} = 2 K_{jk} + W_{jk}} \label{eq_Virial_3}
\end{align}
というテンソルビリアル定理(Tensor Virial Theorem)を表す式に帰着できる.
スカラービリアル定理
系が力学平衡にあるときは, 式\eqref{eq_Virial_3}の左辺は$0$になり,
\begin{align}
2 K_{jk} + W_{jk} &= 0 \nonumber
\end{align}
となる. この両辺のトレースをとって,
- $K$：系全体の運動エネルギー
- $W$：系全体のポテンシャルエネルギー
\begin{align}
K &= \sum_j \frac{1}{2} \int \rho \Braket{v_j v_j} \, \mathrm{d}^3\bm{x}
\end{align}
\begin{align}
W &= - \sum_j \int \rho x_j \frac{\partial \Phi}{\partial x_j} \, \mathrm{d}^3\bm{x}
\end{align}
を定義すれば,
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{2K + W = 0} \label{eq_Virial_5}
\end{align}
が得られる(スカラービリアル定理(Scalar Virial Theorem)). 系の全エネルギーを
\begin{align}
E &= K + W
\end{align}
とすると,
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{E = - K = \frac{W}{2}}
\end{align}
が得られる. すなわち,
- 系からエネルギーを奪うと, 系の運動エネルギーが増える(系の「比熱」が負)
- 系のポテンシャルエネルギーは, 系の全エネルギーの半分である
が成り立つ.
スカラービリアル半径の応用
系全体の運動エネルギー$K$は, 系全体の質量
\begin{align}
M &= \int \rho \, \mathrm{d}^3\bm{x}
\end{align}
と系全体の平均的な速度分散
\begin{align}
\Braket{v^2} &= \frac{1}{M} \sum_j \int \rho \Braket{v_j^2} \, \mathrm{d}^3\bm{x}
\end{align}
を定義すれば,
\begin{align}
K &= \frac{1}{2} M \Braket{v^2} \label{eq_Virial_6}
\end{align}
と書けることに注意せよ. また, 系全体のポテンシャルエネルギー$W$は, ビリアル半径と呼ばれる半径$r_v$を
\begin{align}
\frac{1}{r_v} &= - \frac{1}{M^2} \int \frac{\rho(\bm{x}) \rho(\bm{x}^\prime)}{\left| \bm{x} - \bm{x}^\prime \right|} \, \mathrm{d}^3\bm{x} \, \mathrm{d}\bm{x}^\prime
\end{align}
のように定義すれば,
\begin{align}
W &= - \frac{G M^2}{2 r_v} = - \frac{G M^2}{r_g} \label{eq_Virial_7}
\end{align}
と書けることに注意せよ($r_g$は重力半径(gravitational radius)と呼ばれる).
式\eqref{eq_Virial_5}, \eqref{eq_Virial_6}, \eqref{eq_Virial_7}より,
\begin{align}
\bbox[#dddddd, 1em]{\Braket{v^2} = \frac{G M}{r_g}}
\end{align}
と書ける. ゆえに, 系全体の平均的な速度分散$\Braket{v^2}$と重力半径$r_g$が観測からわかれば, 系全体の質量$M$を求めることができる.
重力半径$r_g$には曖昧さが残るが, 典型的には「質量の半分が入っている半径」(射影はされていない)$r_h$との関係が$r_h \simeq r_g$であるという経験則が知られており,
\begin{align}
\Braket{v^2} &= 0.4 \frac{G M}{r_h}
\end{align}
となるそうである. 例えば, 密度一様で半径が$2^{1/3} r_h$となるような*2仮想球を考えると,
\begin{align}
\Braket{v^2} &= \frac{3 G M}{5 \times 2^{1/3} r_h} = 0.48 \frac{G M}{r_h}
\end{align}
となる*3. また, 球状星団の分布をよく説明するPlummerモデル
\begin{align}
\rho(r) &= \frac{3}{4 \pi} \frac{M a^2}{\left( r^2 + a^2 \right)^{5/2}}
\end{align}
を仮定する($a > 0$はPlummer半径と呼ばれるスケール半径)と,
\begin{align}
\Braket{v^2} &= \frac{3 \pi G M}{32 \sqrt{2^{2/3} - 1} r_h} \simeq 0.38 \frac{G M}{r_h}
\end{align}
となる*4.
参考文献
- Binney, James; Tremaine, Scott. Galactic dynamics. 2nd ed., Princeton, Princeton University Press, 2008, 885p., (Princeton series in astrophysics), ISBN 978-0-691-13026-2.
- Schechter, Paul. 8.902 Astrophysics II. Fall 2004. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, https://ocw.mit.edu. License: Creative Commons BY-NC-SA.
- 千葉柾司. 銀河考古学. 日本評論社, 2015, p.44-50, (新天文学ライブラリー, 2), ISBN 978-4-535-60741-5.
- 牧野淳一郎. “理論天体物理学特論I 講義資料(3回目)”. 2003-11-09. http://jun-makino.sakura.ne.jp/kougi/stellar_dynamics_2004/note3/note3-e.html, (参照 2022-05-03).
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理論天体物理学特論I
理論天体物理学特論I
脚注
*1：$W_{jk}$が対称テンソルであるというのは, 自己重力系であるということから分かる. 自己重力系であるという仮定から, 重力ポテンシャルは,
\begin{align}
\Phi(\bm{x}) &= - \int \frac{G \rho(\bm{x}^\prime)}{\left| \bm{x} - \bm{x}^\prime \right|} \, \mathrm{d}^3\bm{x}^\prime ,
\end{align}
となり, その勾配は
\begin{align}
\nabla_{\bm{x}} \Phi(\bm{x}) &= \int \frac{G \rho(\bm{x}^\prime) \left( \bm{x} - \bm{x}^\prime \right)}{\left| \bm{x} - \bm{x}^\prime \right|^3} \, \mathrm{d}^3\bm{x}^\prime
\end{align}
となる. これを用いて, $W_{jk}$は
\begin{align}
W_{jk} &= - \iint \frac{G \rho(\bm{x}) \rho(\bm{x}^\prime) x_k \left( x_j - x_j^\prime \right)}{\left| \bm{x} - \bm{x}^\prime \right|^3} \, \mathrm{d}^3\bm{x} \, \mathrm{d}^3\bm{x}^\prime
\end{align}
となる. 積分変数$\bm{x}$と$\bm{x}^\prime$を入れ替えたものを加えて$2$で割ると,
\begin{align}
W_{jk} &= - \frac{1}{2} \left( \iint \frac{G \rho(\bm{x}) \rho(\bm{x}^\prime) x_k \left( x_j - x_j^\prime \right)}{\left| \bm{x} - \bm{x}^\prime \right|^3} \, \mathrm{d}^3\bm{x} \, \mathrm{d}^3\bm{x}^\prime \right. \nonumber \\
&\qquad \left. + \iint \frac{G \rho(\bm{x}^\prime) \rho(\bm{x}) x_k^\prime \left( x_j^\prime - x_j \right)}{\left| \bm{x}^\prime - \bm{x} \right|^3} \, \mathrm{d}^3\bm{x} \, \mathrm{d}^3\bm{x}^\prime \right) \nonumber \\
&= - \frac{1}{2} \iint \frac{G \rho(\bm{x}) \rho(\bm{x}^\prime) \left( x_j - x_j^\prime \right) \left( x_k - x_k^\prime \right)}{\left| \bm{x} - \bm{x}^\prime \right|^3} \, \mathrm{d}^3\bm{x} \, \mathrm{d}^3\bm{x}^\prime \label{eq_Virial_4}
\end{align}
となり, $W_{jk}$が対称テンソルであることが分かる. 以降の議論においては, この系が自己重力系であることを仮定していることに注意せよ.
*2：$r_h$が「質量の半分が入っている半径」となるように定めた.
*3：密度一様な球内での重力ポテンシャルは
\begin{align}
\Phi(r) &= \frac{2 \pi G \rho}{3} r^2 - 2^{4/3} \pi G \rho r_h
\end{align}
となるから, $W$を計算すると
\begin{align}
W &= - \int_0^{2^{1/3} r_h} \rho r \frac{\mathrm{d} \Phi(r)}{\mathrm{d} r} 4 \pi r^2 \, \mathrm{d}r \nonumber \\
&= - \frac{16 \pi^2 G \rho^2}{3} \int_0^{2^{1/3} r_h} r^4 \, \mathrm{d}r \nonumber \\
&= - \frac{16 \pi^2 G \rho^2 2^{5/3} r_h^5}{15} \nonumber \\
&= - \frac{3 G M^2}{5 \times 2^{1/3} r_h}
\end{align}
となる.
*4：Plummerモデルに従う恒星系が作り出す重力ポテンシャルは,
\begin{align}
\Phi(r) &= - \frac{G M}{\sqrt{r^2 + a^2}}
\end{align}
となるから, $W$を計算すると
\begin{align}
W &= - \int_0^a \rho(r) r \frac{\mathrm{d} \Phi(r)}{\mathrm{d} r} 4 \pi r^2 \, \mathrm{d}r \nonumber \\
&= - \frac{3 \pi G M^2}{32 a}
\end{align}
となる. また, 半径$r$以内の質量$M(r)$は
\begin{align}
M(r) &= \frac{M r^3}{\left( r^2 + a^2 \right)^{3/2}}
\end{align}
であるから, 「質量の半分が入っている半径」$r_h$と$a$の関係は
\begin{align}
a &= \sqrt{2^{2/3} - 1} r
\end{align}
となる. ゆえに
\begin{align}
W &= - \frac{3 \pi G M^2}{32 \sqrt{2^{2/3} - 1} r}
\end{align}
のように計算できる.
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