ランダウ力学 §39問題3 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§39の問題3の解説です.

問題

地球の自転が振子の小振動におよぼす影響を見いだせ(いわゆるFoucault振子).

解答作成

非慣性系における運動方程式

\begin{align} m \frac{\mathrm{d} \bm{v}}{\mathrm{d} t} = - \frac{\partial U}{\partial \bm{r}} - m \bm{W} + m \bm{r} \times \bm{\Omega} + 2 m \bm{v} \times \bm{\Omega} + m \left\{ \bm{\Omega} \times \left( \bm{r} \times \bm{\Omega} \right) \right\} \label{eq_39-7} \tag{39.7} \end{align}

において, $\bm{W} = \bm{0}$(地球の並進運動の影響はしない), $\dot{\bm{\Omega}} = \bm{0}$(地球の自転の角速度は変化しないとする)とし, $\bm{\Omega}$の2次以上の項を無視(地球の自転の角速度は小さいとする)すると, 最終的にCoriolisの力だけが残り,

\begin{align} m \frac{\mathrm{d}^2 \bm{r}}{\mathrm{d} t^2} &= - \frac{\partial U}{\partial \bm{r}} + 2 m \bm{v} \times \bm{\Omega} \end{align}

となる. $xy$平面内での微小振動を考えると,

\begin{align} \ddot{x} + \omega^2 x &= 2 \Omega_z \dot{y} , \label{eq_39-ex3-1} \\ \ddot{y} + \omega^2 y &= - 2 \Omega_z \dot{x} \label{eq_39-ex3-2} \end{align}

となる(ただし, $\omega$は地球の自転を考慮に入れない場合の振子の振動数である).

\eqref{eq_39-ex3-2}に$i$をかけて\eqref{eq_39-ex3-1}に加えると, $\xi = x + iy$に対する式

\begin{align} \ddot{\xi} + 2i \Omega_z \dot{\xi} + \omega^2 \xi &= 0 \end{align}

を得る. これの一般解は,

\begin{align} \xi &= C_1 e^{i \omega_+ t} + C_2 e^{i \omega_- t} , \\ \omega_\pm &= - \Omega_z \pm \sqrt{\omega^2 + \Omega_z^2} \end{align}

である(ただし, $C_1$, $C_2$は任意定数である)が, $\Omega$の2次以上の項を無視することによって,

\begin{align} \omega_\pm &= - \Omega_z \pm \omega \end{align}

となり,

\begin{align} \xi &= e^{- i \Omega_z t} \left( C_1 e^{i \omega t} + C_2 e^{- \omega t} \right) \end{align}

となる. 一方, 地球の自転を考えないときは単に,

\begin{align} \xi_0 &= C_1 e^{i \omega t} + C_2 e^{- \omega t} \end{align}

である(ただし, 地球の自転を考えない場合を添え字$0$で表す)から,

\begin{align} x + iy &= e^{- i \Omega_z t} \left( x_0 + i y_0 \right) \end{align}

となる.

したがって, 地球の自転の影響は, 地球の自転を考えない場合の軌跡を鉛直方向の周りに角速度$\Omega_z$で回転させることに帰する.

別解

あるいは, 以下のようにして考えることもできる.

\eqref{eq_39-ex3-1}に$y$をかけたものから, \eqref{eq_39-ex3-2}に$x$をかけたものを引くと,

\begin{align} x\ddot{y} - \ddot{x}y &= - 2 \Omega_z \left( \dot{x}x + \dot{y}y \right) \end{align}

となる. これは直ちに積分でき,

\begin{align} x\dot{y} - \dot{x}y &= - \Omega_z \left( x^2 + y^2 \right) + C \end{align}

となる(ただし, $C$は任意定数である). これを極座標で表せば,

\begin{align} r^2 \dot{\theta} &= - \Omega_z r^2 + C \end{align}

となる(ただし, $x$軸からの偏角を$\theta$とおく). 任意定数$C$は, $r = 0$とおくことで$C = 0$と求まり,

\begin{align} \dot{\theta} &= - \Omega_z \end{align}

を得る.

したがって, 地球の自転の影響は, 地球の自転を考えない場合の軌跡を鉛直方向の周りに角速度$\Omega_z$で回転させることに帰する.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

リンク

ちなみに

Foucault振子に関しては, 多くの古典力学の教科書に記載があることと思います. 別解は以下を参照しています.

大場一郎, 中村純. 理工系の標準力学. 培風館, 2003, p.78-79, ISBN 4-563-02271-3.
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ランダウ力学 §39問題3 解説

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