ランダウ力学 §39問題3 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§39の問題3の解説です.

問題

地球の自転が振子の小振動におよぼす影響を見いだせ(いわゆるFoucault振子).

非慣性系における運動方程式

\begin{array}{r} (39.7) & m \frac{d v}{d t} = - \frac{\partial U}{\partial r} - m W + m r \times Ω + 2 m v \times Ω + m {Ω \times (r \times Ω)} \end{array}

において, $W = 0$ (地球の並進運動の影響はしない), $\dot{Ω} = 0$ (地球の自転の角速度は変化しないとする)とし, $Ω$ の2次以上の項を無視(地球の自転の角速度は小さいとする)すると, 最終的にCoriolisの力だけが残り,

\begin{aligned} (1) & m \frac{d^{2} r}{d t^{2}} & = - \frac{\partial U}{\partial r} + 2 m v \times Ω \end{aligned}

となる. $x y$ 平面内での微小振動を考えると,

\begin{aligned} (2) & \ddot{x} + ω^{2} x & = 2 Ω_{z} \dot{y}, \\ (3) & \ddot{y} + ω^{2} y & = - 2 Ω_{z} \dot{x} \end{aligned}

となる(ただし, $ω$ は地球の自転を考慮に入れない場合の振子の振動数である).

$(3)$ に $i$ をかけて $(2)$ に加えると, $ξ = x + i y$ に対する式

\begin{aligned} (4) & \ddot{ξ} + 2 i Ω_{z} \dot{ξ} + ω^{2} ξ & = 0 \end{aligned}

を得る. これの一般解は,

\begin{aligned} (5) & ξ & = C_{1} e^{i ω_{+} t} + C_{2} e^{i ω_{-} t}, \\ (6) & ω_{\pm} & = - Ω_{z} \pm \sqrt{ω^{2} + Ω_{z}^{2}} \end{aligned}

である(ただし, $C_{1}$ , $C_{2}$ は任意定数である)が, $Ω$ の2次以上の項を無視することによって,

\begin{aligned} (7) & ω_{\pm} & = - Ω_{z} \pm ω \end{aligned}

となり,

\begin{aligned} (8) & ξ & = e^{- i Ω_{z} t} (C_{1} e^{i ω t} + C_{2} e^{- ω t}) \end{aligned}

となる. 一方, 地球の自転を考えないときは単に,

\begin{aligned} (9) & ξ_{0} & = C_{1} e^{i ω t} + C_{2} e^{- ω t} \end{aligned}

である(ただし, 地球の自転を考えない場合を添え字 $0$ で表す)から,

\begin{aligned} (10) & x + i y & = e^{- i Ω_{z} t} (x_{0} + i y_{0}) \end{aligned}

となる.

したがって, 地球の自転の影響は, 地球の自転を考えない場合の軌跡を鉛直方向の周りに角速度 $Ω_{z}$ で回転させることに帰する.

あるいは, 以下のようにして考えることもできる.

$(2)$ に $y$ をかけたものから, $(3)$ に $x$ をかけたものを引くと,

\begin{aligned} (11) & x \ddot{y} - \ddot{x} y & = - 2 Ω_{z} (\dot{x} x + \dot{y} y) \end{aligned}

となる. これは直ちに積分でき,

\begin{aligned} (12) & x \dot{y} - \dot{x} y & = - Ω_{z} (x^{2} + y^{2}) + C \end{aligned}

となる(ただし, $C$ は任意定数である). これを極座標で表せば,

\begin{aligned} (13) & r^{2} \dot{θ} & = - Ω_{z} r^{2} + C \end{aligned}

となる(ただし, $x$ 軸からの偏角を $θ$ とおく). 任意定数 $C$ は, $r = 0$ とおくことで $C = 0$ と求まり,

\begin{aligned} (14) & \dot{θ} & = - Ω_{z} \end{aligned}

を得る.

したがって, 地球の自転の影響は, 地球の自転を考えない場合の軌跡を鉛直方向の周りに角速度 $Ω_{z}$ で回転させることに帰する.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

Foucault振子に関しては, 多くの古典力学の教科書に記載があることと思います. 別解は以下を参照しています.

大場一郎, 中村純. 理工系の標準力学. 培風館, 2003, p.78-79, ISBN 4-563-02271-3.

理工系の標準力学

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