ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§26の問題の解説です.
問題
外力$f=f_0 e^{\alpha t} \cos \gamma t$が働くときの, 摩擦のある強制振動を決定せよ.
解答作成
外力$f=f_0 e^{\alpha t} \cos \gamma t$を用いると, 運動方程式は,
\begin{align}
\ddot{x} + 2\lambda \dot{x} + \omega_0^2 x &= \frac{f_0}{m} e^{\alpha t} \cos \gamma t \nonumber
\end{align}
となる. これを複素形にすると,
\begin{align}
\ddot{x} + 2\lambda \dot{x} + \omega_0^2 x &= \frac{f_0}{m} e^{\left( \alpha + i \gamma \right) t} \nonumber
\end{align}
となる. この特殊解を
\begin{align}
x &= B e^{\left( \alpha + i \gamma \right) t} \nonumber
\end{align}
と仮定すると,
\begin{align}
\dot{x} &= B \left( \alpha + i \gamma \right) e^{\left( \alpha + i \gamma \right) t} , \nonumber \\
\ddot{x} &= B \left( \alpha^2 - \gamma^2 + 2i \alpha \gamma \right) e^{\left( \alpha + i \gamma \right) t} \nonumber
\end{align}
となるから, これらを運動方程式に代入して,
\begin{align}
\left\{ \left( \alpha^2 - \gamma^2 + 2i \alpha \gamma \right) + 2\lambda \left( \alpha + i \gamma \right) + \omega_0^2 \right\} B &= \frac{f_0}{m} \nonumber
\end{align}
となる. これを$B$について解くと,
\begin{align}
B &= \frac{f_0}{m \left\{ \left( \omega_0^2 + \alpha^2 - \gamma^2 + 2\alpha \lambda \right) + i 2 \gamma \left( \alpha + \lambda \right) \right\} } \nonumber
\end{align}
となる. $B = b e^{i \delta}$とすれば,
\begin{align}
b &= \frac{f_0}{m \sqrt{\left( \omega_0^2 + \alpha^2 - \gamma^2 + 2\alpha \lambda \right)^2 + 4 \gamma^2 \left( \alpha + \lambda \right)^2}} , \\
\tan \delta &= - \frac{2 \gamma \left( \alpha + \lambda \right)}{\omega_0^2 + \alpha^2 - \gamma^2 + 2\alpha \lambda}
\end{align}
となる. この$b$, $\delta$を用いると, 強制振動は
\begin{align}
x &= b e^{\alpha t} \cos \left( \gamma t + \delta \right)
\end{align}
と決定される.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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