ランダウ力学 §26問題解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§26の問題の解説です.

問題

外力

f = f_{0} e^{α t} \cos γ t

が働くときの, 摩擦のある強制振動を決定せよ.

外力 $f = f_{0} e^{α t} \cos γ t$ を用いると, 運動方程式は,

\begin{aligned} \ddot{x} + 2 λ \dot{x} + ω_{0}^{2} x & = \frac{f_{0}}{m} e^{α t} \cos γ t \end{aligned}

となる. これを複素形にすると,

\begin{aligned} \ddot{x} + 2 λ \dot{x} + ω_{0}^{2} x & = \frac{f_{0}}{m} e^{(α + i γ) t} \end{aligned}

となる. この特殊解を

\begin{aligned} x & = B e^{(α + i γ) t} \end{aligned}

と仮定すると,

\begin{aligned} \dot{x} & = B (α + i γ) e^{(α + i γ) t}, \\ \ddot{x} & = B (α^{2} - γ^{2} + 2 i α γ) e^{(α + i γ) t} \end{aligned}

となるから, これらを運動方程式に代入して,

\begin{aligned} {(α^{2} - γ^{2} + 2 i α γ) + 2 λ (α + i γ) + ω_{0}^{2}} B & = \frac{f_{0}}{m} \end{aligned}

となる. これを $B$ について解くと,

\begin{aligned} B & = \frac{f_{0}}{m {(ω_{0}^{2} + α^{2} - γ^{2} + 2 α λ) + i 2 γ (α + λ)}} \end{aligned}

となる. $B = b e^{i δ}$ とすれば,

\begin{aligned} (1) & b & = \frac{f_{0}}{m \sqrt{{(ω_{0}^{2} + α^{2} - γ^{2} + 2 α λ)}^{2} + 4 γ^{2} {(α + λ)}^{2}}}, \\ (2) & \tan δ & = - \frac{2 γ (α + λ)}{ω_{0}^{2} + α^{2} - γ^{2} + 2 α λ} \end{aligned}

となる. この $b$ , $δ$ を用いると, 強制振動は

\begin{aligned} (3) & x & = b e^{α t} \cos (γ t + δ) \end{aligned}

と決定される.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.