ランダウ力学 §21問題2 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§21の問題2の解説です.

問題

ことなったアイソトープ原子からなる2個の2原子分子の振動数$\omega$, $\omega'$の比を求めよ. それぞれの原子の質量を$m_1$, $m_2$および$m_1'$, $m_2'$とする.

解答作成

アイソトープ原子では中性子の数のみが変わる. ゆえに, アイソトープ原子は電磁相互作用のみを考えれば, 同じように相互作用する. よって, 2つの原子による相互作用運動を1粒子の運動に還元したときに, 固定点を中心とする力の場$U(r)$は同じになり, $k=k'$である. 一方, それぞれの2原子分子の換算質量は

\begin{align} m &= \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} , \quad m' = \frac{m_1' m_2'}{m_1' + m_2'} \nonumber \end{align}

であるから,

\begin{align} \omega &= \sqrt{\frac{k}{m}} \tag{21.6} \end{align}

にしたがって,

\begin{align} \frac{\omega'}{\omega} &= \sqrt{\frac{m}{m'}} = \sqrt{\frac{m_1 m_2 \left( m_1' + m_2' \right)}{m_1' m_2' \left( m_1 + m_2 \right)}} \end{align}

となる.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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