ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§23の問題3の解説です.
問題
中心力の場$U = kr^2 / 2$における粒子の運動の軌跡を見いだせ(空間振動子とよばれる).
解答作成
すべての中心力の場における運動は, 1つの平面内で行われる(§14参照). その平面を$xy$平面にとる.
本編中の議論と同様に, $x$, $y$方向には同じ振動数$\omega = \sqrt{k / m}$をもつ単振動を行う. よって,
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
x &= a \cos \left( \omega t + \alpha \right) , \\
y &= b \cos \left( \omega t + \beta \right)
\end{aligned}
\right.
\end{align}
である. ここで, $\varphi = \omega t + \alpha$, $\delta = \beta - \alpha$という記号を導入すれば,
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
x &= a \cos \varphi , \\
y &= b \cos \left( \varphi + \delta \right)
\end{aligned}
\right. \nonumber
\end{align}
すなわち,
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
x &= a \cos \varphi , \\
y &= b \cos \varphi \cos \delta - b \sin \varphi \sin \delta
\end{aligned}
\right.
\end{align}
となる. ゆえに, $\cos \varphi$と$\sin \varphi$について解いて,
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
\cos \varphi &= \frac{1}{a} x , \\
\sin \varphi &= \frac{1}{a \tan \delta} x - \frac{1}{b \sin \delta} y
\end{aligned}
\right.
\end{align}
となる. $\cos^2 \delta + \sin^2 \delta = 1$より
\begin{align}
\left( \frac{1}{a} x \right)^2 + \left( \frac{1}{a \tan \delta} x - \frac{1}{b \sin \delta} y \right)^2 &= 1 \nonumber \\
\frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2}{a^2 \tan^2 \delta} - \frac{2}{ab \tan \delta \sin \delta} xy + \frac{y^2}{b^2 \sin^2 \delta} &= 1 \nonumber \\
\frac{x^2}{a^2} \sin^2 \delta + \frac{x^2}{a^2 \tan^2 \delta} \sin^2 \delta - \frac{2}{ab \tan \delta} xy \sin \delta + \frac{y^2}{b^2} &= \sin^2 \delta \nonumber \\
\frac{x^2}{a^2} \sin^2 \delta + \frac{x^2}{a^2} \cos^2 \delta - \frac{2}{ab} xy \cos \delta + \frac{y^2}{b^2} &= \sin^2 \delta \nonumber \\
\frac{x^2}{a^2} - \frac{2}{ab} xy \cos \delta + \frac{y^2}{b^2} &= \sin^2 \delta
\end{align}
となる. これは, 座標原点を中心とする楕円である. $\delta = 0 , \pi$のときには, 軌跡は線分になる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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