ランダウ力学 §23問題3 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§23の問題3の解説です.

問題

中心力の場

U = k r^{2} / 2

における粒子の運動の軌跡を見いだせ(空間振動子とよばれる).

すべての中心力の場における運動は, 1つの平面内で行われる(§14参照). その平面を $x y$ 平面にとる.

本編中の議論と同様に, $x$ , $y$ 方向には同じ振動数 $ω = \sqrt{k / m}$ をもつ単振動を行う. よって,

\begin{array}{r} (1) & {\begin{aligned} x & = a \cos (ω t + α), \\ y & = b \cos (ω t + β) \end{aligned} \end{array}

である. ここで, $φ = ω t + α$ , $δ = β - α$ という記号を導入すれば,

\begin{array}{r} {\begin{aligned} x & = a \cos φ, \\ y & = b \cos (φ + δ) \end{aligned} \end{array}

すなわち,

\begin{array}{r} (2) & {\begin{aligned} x & = a \cos φ, \\ y & = b \cos φ \cos δ - b \sin φ \sin δ \end{aligned} \end{array}

となる. ゆえに, $\cos φ$ と $\sin φ$ について解いて,

\begin{array}{r} (3) & {\begin{aligned} \cos φ & = \frac{1}{a} x, \\ \sin φ & = \frac{1}{a \tan δ} x - \frac{1}{b \sin δ} y \end{aligned} \end{array}

となる. $\cos^{2} δ + \sin^{2} δ = 1$ より

\begin{aligned} {(\frac{1}{a} x)}^{2} + {(\frac{1}{a \tan δ} x - \frac{1}{b \sin δ} y)}^{2} & = 1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{a^{2} \tan^{2} δ} - \frac{2}{a b \tan δ \sin δ} x y + \frac{y^{2}}{b^{2} \sin^{2} δ} & = 1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} \sin^{2} δ + \frac{x^{2}}{a^{2} \tan^{2} δ} \sin^{2} δ - \frac{2}{a b \tan δ} x y \sin δ + \frac{y^{2}}{b^{2}} & = \sin^{2} δ \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} \sin^{2} δ + \frac{x^{2}}{a^{2}} \cos^{2} δ - \frac{2}{a b} x y \cos δ + \frac{y^{2}}{b^{2}} & = \sin^{2} δ \\ (4) & \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{2}{a b} x y \cos δ + \frac{y^{2}}{b^{2}} & = \sin^{2} δ \end{aligned}

となる. これは, 座標原点を中心とする楕円である. $δ = 0, π$ のときには, 軌跡は線分になる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.