ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§22の問題2の解説です.
問題
$t < 0$に対して$F=0$, $0 < t < T$に対して$F = F_0 t / T $, $t > T$に対して$F = F_0$という法則(図24)にしたがって外力が働いたのちに, 系の振動がもつ最終的な振幅を求めよ. 時刻$t=0$までは, 系はつり合いの位置に静止している.
図24解答作成
$0 < t < T$に関しては, 問題1のbで確認済みで,
\begin{align}
x &= \frac{F_0}{m T \omega^3} \left( \omega t - \sin \omega t \right) \label{eq_22-2e1}
\end{align}
となる. これを時間微分して,
\begin{align}
\dot{x} &= \frac{F_0}{m T \omega^2} \left( 1 - \cos \omega t \right) \label{eq_22-2e3}
\end{align}
も得る. 一方, $t > T$に関しては, 問題1のaで確認済みで,
\begin{align}
x &= a \cos \left( \omega t + \alpha \right) + \frac{F_0}{m \omega^2} \nonumber
\end{align}
のようになるが, 今回は三角関数の形を変え, また時間$t$の原点をずらし,
\begin{align}
x &= c_1 \cos \omega \left( t - T \right) + c_2 \sin \omega \left( t - T \right) + \frac{F_0}{m \omega^2} \label{eq_22-2e2}
\end{align}
とする. これを時間微分して,
\begin{align}
\dot{x} &= - c_1 \omega \sin \omega \left( t - T \right) + c_2 \omega \cos \omega \left( t - T \right) \label{eq_22-2e4}
\end{align}
も得る.
$t = T$で$x$は連続となるから, \eqref{eq_22-2e1}, \eqref{eq_22-2e2}で$t=T$としたものを接続し,
\begin{align}
\frac{F_0}{m T \omega^3} \left( \omega T - \sin \omega T \right) &= c_1 + \frac{F_0}{m \omega^2} \nonumber \\
\therefore c_1 &= - \frac{F_0}{m T \omega^3} \sin \omega T \label{eq_22-2e5}
\end{align}
となる. また, $t = T$で$\dot{x}$は連続となるから, \eqref{eq_22-2e3}, \eqref{eq_22-2e4}で$t=T$としたものを接続し,
\begin{align}
\frac{F_0}{m T \omega^2} \left( 1 - \cos \omega T \right) &= c_2 \omega \nonumber \\
\therefore c_2 &= \frac{F_0}{m T \omega^3} \left( 1 - \cos \omega T \right) \label{eq_22-2e6}
\end{align}
となる.
したがって, 最終的な振幅$a$は
\begin{align}
a &= \sqrt{c_1^2 + c_2^2} \nonumber \\
&= \frac{F_0}{m T \omega^3} \sqrt{\sin^2 \omega T + \left( 1 - \cos \omega T \right)^2} \nonumber \\
&= \frac{F_0}{m T \omega^3} \sqrt{2 - 2 \cos \omega T} \nonumber \\
&= \frac{2F_0}{m T \omega^3} \sin \frac{\omega T}{2}
\end{align}
となる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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図24
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