ランダウ力学 §22問題2 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§22の問題2の解説です.

問題

t < 0

に対して

F = 0

0 < t < T

に対して

F = F_{0} t / T

t > T

に対して

F = F_{0}

という法則(図24)にしたがって外力が働いたのちに, 系の振動がもつ最終的な振幅を求めよ. 時刻

t = 0

までは, 系はつり合いの位置に静止している.

図24

$0 < t < T$ に関しては, 問題1のbで確認済みで,

\begin{aligned} (1) & x & = \frac{F_{0}}{m T ω^{3}} (ω t - \sin ω t) \end{aligned}

となる. これを時間微分して,

\begin{aligned} (2) & \dot{x} & = \frac{F_{0}}{m T ω^{2}} (1 - \cos ω t) \end{aligned}

も得る. 一方, $t > T$ に関しては, 問題1のaで確認済みで,

\begin{aligned} x & = a \cos (ω t + α) + \frac{F_{0}}{m ω^{2}} \end{aligned}

のようになるが, 今回は三角関数の形を変え, また時間 $t$ の原点をずらし,

\begin{aligned} (3) & x & = c_{1} \cos ω (t - T) + c_{2} \sin ω (t - T) + \frac{F_{0}}{m ω^{2}} \end{aligned}

とする. これを時間微分して,

\begin{aligned} (4) & \dot{x} & = - c_{1} ω \sin ω (t - T) + c_{2} ω \cos ω (t - T) \end{aligned}

も得る.

$t = T$ で $x$ は連続となるから, $(1)$ , $(3)$ で $t = T$ としたものを接続し,

\begin{aligned} \frac{F_{0}}{m T ω^{3}} (ω T - \sin ω T) & = c_{1} + \frac{F_{0}}{m ω^{2}} \\ (5) & ∴ c_{1} & = - \frac{F_{0}}{m T ω^{3}} \sin ω T \end{aligned}

となる. また, $t = T$ で $\dot{x}$ は連続となるから, $(2)$ , $(4)$ で $t = T$ としたものを接続し,

\begin{aligned} \frac{F_{0}}{m T ω^{2}} (1 - \cos ω T) & = c_{2} ω \\ (6) & ∴ c_{2} & = \frac{F_{0}}{m T ω^{3}} (1 - \cos ω T) \end{aligned}

となる.

したがって, 最終的な振幅 $a$ は

\begin{aligned} a & = \sqrt{c_{1}^{2} + c_{2}^{2}} \\ = \frac{F_{0}}{m T ω^{3}} \sqrt{\sin^{2} ω T + {(1 - \cos ω T)}^{2}} \\ = \frac{F_{0}}{m T ω^{3}} \sqrt{2 - 2 \cos ω T} \\ (7) & = \frac{2 F_{0}}{m T ω^{3}} \sin \frac{ω T}{2} \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.