ランダウ力学 §8問題解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§8の問題の解説です.

問題

1つの慣性基準系から他の慣性基準系へ移るときの, 作用の変換法則を求めよ.

本編よりLagrangianは, 運動エネルギー $T$ とポテンシャルエネルギー $U$ を用いて

\begin{aligned} L & = T - U \end{aligned}

と表される. 各粒子の速度 $v_{a}$ を用いて書くと,

\begin{aligned} L & = \frac{1}{2} \sum_{a} m_{a} v_{a}^{2} - U \end{aligned}

となる.

基準系K'が基準系Kに対して速度 $V$ で動いているとすると, K系, K'系に関する各粒子の速度 $v_{a}$ , $v_{a}^{'}$ の間には

\begin{aligned} v_{a} & = v_{a}^{'} + V \end{aligned}

の関係がある. これに則ってLagrangianを変換すると,

\begin{aligned} L & = \frac{1}{2} \sum_{a} m_{a} {(v_{a}^{'} + V)}^{2} - U \\ = \frac{1}{2} \sum_{a} m_{a} {(v_{a}^{'})}^{2} + \sum_{a} m_{a} v_{a}^{'} \cdot V + \frac{1}{2} \sum_{a} m_{a} V^{2} - U \\ = \frac{1}{2} \sum_{a} m_{a} {(v_{a}^{'})}^{2} - U + V \cdot \sum_{a} m_{a} v_{a}^{'} + V^{2} \frac{1}{2} \sum_{a} m_{a} \end{aligned}

となる. K'系でのLagrangian

\begin{aligned} L^{'} & = \frac{1}{2} \sum_{a} m_{a} {(v_{a}^{'})}^{2} - U \end{aligned}

と系全体の質量の和

\begin{aligned} (1) & μ & = \sum_{a} m_{a} \end{aligned}

を用いると,

\begin{aligned} (2) & L & = L^{'} + V \cdot \sum_{a} m_{a} v_{a}^{'} + \frac{1}{2} μ V^{2} \end{aligned}

となる. これが, Lagrangianの変換法則である.

作用はLagrangianの時間に関する積分であるから, $(2)$ を時間について積分すれば, 作用に関する変換法則が得られるはずである. 実際, $(2)$ を時間について積分すると(任意定数は運動方程式を作る際に消えるので考えない),

\begin{aligned} S & = S^{'} + V \cdot \sum_{a} m_{a} r_{a}^{'} + \frac{1}{2} μ V^{2} t \\ = S^{'} + V \cdot \frac{\sum_{a} m_{a} r_{a}^{'}}{\sum_{a} m_{a}} \sum_{a} m_{a} + \frac{1}{2} μ V^{2} t \end{aligned}

となり, K'系における系の慣性中心

\begin{aligned} R^{'} & = \frac{\sum_{a} m_{a} r_{a}^{'}}{\sum_{a} m_{a}} \end{aligned}

と系全体の質量の和 $(1)$ を用いると,

\begin{aligned} (3) & S & = S^{'} + μ V \cdot R^{'} + \frac{1}{2} μ V^{2} t \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.