ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§8の問題の解説です.
問題
1つの慣性基準系から他の慣性基準系へ移るときの, 作用の変換法則を求めよ.
解答作成
本編よりLagrangianは, 運動エネルギー$T$とポテンシャルエネルギー$U$を用いて
\begin{align}
L &= T - U \nonumber
\end{align}
と表される. 各粒子の速度$\bm{v}_a$を用いて書くと,
\begin{align}
L &= \frac{1}{2} \sum_a m_a \bm{v}_a^2 - U \nonumber
\end{align}
となる.
基準系K'が基準系Kに対して速度$\bm{V}$で動いているとすると, K系, K'系に関する各粒子の速度$\bm{v}_a$, $\bm{v}_a'$の間には
\begin{align}
\bm{v}_a &= \bm{v}_a' + \bm{V} \nonumber
\end{align}
の関係がある. これに則ってLagrangianを変換すると,
\begin{align}
L &= \frac{1}{2} \sum_a m_a \left( \bm{v}_a' + \bm{V} \right)^2 - U \nonumber \\
&= \frac{1}{2} \sum_a m_a \left( \bm{v}_a' \right)^2 + \sum_a m_a \bm{v}_a' \cdot \bm{V} + \frac{1}{2} \sum_a m_a \bm{V}^2 - U \nonumber \\
&= \frac{1}{2} \sum_a m_a \left( \bm{v}_a' \right)^2 - U + \bm{V} \cdot \sum_a m_a \bm{v}_a' + \bm{V}^2 \frac{1}{2} \sum_a m_a \nonumber
\end{align}
となる. K'系でのLagrangian
\begin{align}
L' &= \frac{1}{2} \sum_a m_a \left( \bm{v}_a' \right)^2 - U \nonumber
\end{align}
と系全体の質量の和
\begin{align}
\mu &= \sum_a m_a \label{eq_8-e2}
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
L &= L' + \bm{V} \cdot \sum_a m_a \bm{v}_a' + \frac{1}{2} \mu \bm{V}^2 \label{eq_8-e1}
\end{align}
となる. これが, Lagrangianの変換法則である.
作用はLagrangianの時間に関する積分であるから, \eqref{eq_8-e1}を時間について積分すれば, 作用に関する変換法則が得られるはずである. 実際, \eqref{eq_8-e1}を時間について積分すると(任意定数は運動方程式を作る際に消えるので考えない),
\begin{align}
S &= S' + \bm{V} \cdot \sum_a m_a \bm{r}_a' + \frac{1}{2} \mu \bm{V}^2 t \nonumber \\
&= S' + \bm{V} \cdot \frac{\sum_a m_a \bm{r}_a'}{\sum_a m_a} \sum_a m_a + \frac{1}{2} \mu \bm{V}^2 t \nonumber
\end{align}
となり, K'系における系の慣性中心
\begin{align}
\bm{R}' &= \frac{\sum_a m_a \bm{r}_a'}{\sum_a m_a} \nonumber
\end{align}
と系全体の質量の和\eqref{eq_8-e2}を用いると,
\begin{align}
S &= S' + \mu \bm{V} \cdot \bm{R}' + \frac{1}{2} \mu \bm{V}^2 t
\end{align}
となる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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