ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§19の問題2の解説です.
問題
半径$a$, 深さ$U_0$の球状ポテンシャル井戸(すなわち$r > a$で$U=0$, $r < a$で$U=-U_0$の場)による散乱断面積を見いだせ.
解答作成
(手書きの図をなくしてしまったので, 本編p. 67の図21をご覧ください. )
§7問題と同様に
\begin{align}
\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} &= \sqrt{1+ \frac{2U_0}{m v_{\infty}^2}} \equiv n
\end{align}
とできる($n$：屈折率). 図21より$\chi = 2 \left( \alpha - \beta \right)$であるから,
\begin{align}
\frac{1}{n} &= \frac{\sin \left( \alpha - \frac{\chi}{2} \right)}{\sin \alpha} = \cos \frac{\chi}{2} - \cot \alpha \sin \frac{\chi}{2} \nonumber
\end{align}
となる. ここで, 図21より明らかな関係
\begin{align}
\rho &= a \sin \alpha \nonumber
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
\rho^2 &= a^2 \sin^2 \alpha = \frac{\alpha^2}{1+ \cot^2 \alpha} \nonumber \\
&= \frac{a^2}{1+ \left( \frac{\cos \frac{\chi}{2} - \frac{1}{n}}{\sin \frac{\chi}{2}} \right)^2} \nonumber \\
&= a^2 \frac{n^2 \sin^2 \frac{\chi}{2}}{n^2 + 1 - 2n \cos \frac{\chi}{2}} \label{eq_19-2e1}
\end{align}
となる.
ここで,
\begin{align}
\mathrm{d}\sigma &= \frac{\rho(\chi)}{\sin \chi} \left| \frac{\mathrm{d} \rho(\chi)}{\mathrm{d} \chi} \right| \mathrm{d}o \tag{18.8}
\end{align}
は
\begin{align}
\mathrm{d}\sigma &= \frac{1}{2 \sin \chi} \left| \frac{\mathrm{d} \left( \rho \right)^2}{\mathrm{d} \chi} \right| \mathrm{d}o \label{eq_19-2e2}
\end{align}
である. \eqref{eq_19-2e1}から$\rho^2$の$\chi$微分を計算して,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} \left( \rho^2 \right)}{\mathrm{d} \chi} &= a^2 n^2 \frac{2 \sin \frac{\chi}{2} \left( n - \cos \frac{\chi}{2} \right) \left( n \cos \frac{\chi}{2} - 1 \right)}{\left( n^2 + 1 - 2n \cos \frac{\chi}{2} \right)^2} \label{eq_19-2e3}
\end{align}
であるから, \eqref{eq_19-2e2}, \eqref{eq_19-2e3}より, 有効断面積は
\begin{align}
\mathrm{d}\sigma &= \frac{a^2 n^2}{4 \cos \frac{\chi}{2}} \frac{2 \left( n - \cos \frac{\chi}{2} \right) \left( n \cos \frac{\chi}{2} - 1 \right)}{\left( n^2 + 1 - 2n \cos \frac{\chi}{2} \right)^2} \mathrm{d}o
\end{align}
となる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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