ランダウ力学 §19問題2 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§19の問題2の解説です.

問題

半径

a

, 深さ

U_{0}

の球状ポテンシャル井戸(すなわち

r > a

で

U = 0

r < a

で

U = - U_{0}

の場)による散乱断面積を見いだせ.

(手書きの図をなくしてしまったので, 本編p. 67の図21をご覧ください. )

§7問題と同様に

\begin{aligned} (1) & \frac{\sin α}{\sin β} & = \sqrt{1 + \frac{2 U_{0}}{m v_{\infty}^{2}}} \equiv n \end{aligned}

とできる( $n$ ：屈折率). 図21より $χ = 2 (α - β)$ であるから,

\begin{aligned} \frac{1}{n} & = \frac{\sin (α - \frac{χ}{2})}{\sin α} = \cos \frac{χ}{2} - \cot α \sin \frac{χ}{2} \end{aligned}

となる. ここで, 図21より明らかな関係

\begin{aligned} ρ & = a \sin α \end{aligned}

を用いると,

\begin{aligned} ρ^{2} & = a^{2} \sin^{2} α = \frac{α^{2}}{1 + \cot^{2} α} \\ = \frac{a^{2}}{1 + {(\frac{\cos \frac{χ}{2} - \frac{1}{n}}{\sin \frac{χ}{2}})}^{2}} \\ (2) & = a^{2} \frac{n^{2} \sin^{2} \frac{χ}{2}}{n^{2} + 1 - 2 n \cos \frac{χ}{2}} \end{aligned}

となる.

ここで,

\begin{aligned} (18.8) & d σ & = \frac{ρ (χ)}{\sin χ} | \frac{d ρ (χ)}{d χ} | d o \end{aligned}

は

\begin{aligned} (3) & d σ & = \frac{1}{2 \sin χ} | \frac{d {(ρ)}^{2}}{d χ} | d o \end{aligned}

である. $(2)$ から $ρ^{2}$ の $χ$ 微分を計算して,

\begin{aligned} (4) & \frac{d (ρ^{2})}{d χ} & = a^{2} n^{2} \frac{2 \sin \frac{χ}{2} (n - \cos \frac{χ}{2}) (n \cos \frac{χ}{2} - 1)}{{(n^{2} + 1 - 2 n \cos \frac{χ}{2})}^{2}} \end{aligned}

であるから, $(3)$ , $(4)$ より, 有効断面積は

\begin{aligned} (5) & d σ & = \frac{a^{2} n^{2}}{4 \cos \frac{χ}{2}} \frac{2 (n - \cos \frac{χ}{2}) (n \cos \frac{χ}{2} - 1)}{{(n^{2} + 1 - 2 n \cos \frac{χ}{2})}^{2}} d o \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.