ランダウ力学 §42問題4 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§42の問題4の解説です.

問題

つぎのことを示せ：

\begin{aligned} {f, M_{z}} & = f \times n . \end{aligned}

ここで

f

は粒子の座標および運動量のベクトル関数,

n

は

z

軸方向の単位ベクトルである.

ベクトル関数 $f$ がベクトル $r$ , $p$ に依存するのは,

の形を通してだけである( $f$ がベクトル関数であるから, 成り立つ). ゆえに, $f$ はあるスカラー関数 $φ_{1}$ , $φ_{2}$ , $φ_{3}$ を用いて

\begin{aligned} (1) & f & = φ_{1} r + φ_{2} p + φ_{3} r \times p \end{aligned}

と書ける.

$(1)$ および§42問題3の結果を用いて ${f, M_{z}}$ を計算すると,

\begin{aligned} {f, M_{z}} & = {φ_{1} r + φ_{2} p + φ_{3} r \times p, M_{z}} \\ = {φ_{1} r, M_{z}} + {φ_{2} p, M_{z}} + {φ_{3} r \times p, M_{z}} \\ = {φ_{1}, M_{z}} r + {r, M_{z}} φ_{1} \\ + {φ_{2}, M_{z}} p + {p, M_{z}} φ_{2} \\ + {φ_{3}, M_{z}} r \times p + {r \times p, M_{z}} φ_{3} \\ = {r, M_{z}} φ_{1} + {p, M_{z}} φ_{2} + {M, M_{z}} φ_{3} \\ = (\begin{array}{c} - y \\ x \\ 0 \end{array}) φ_{1} + (\begin{array}{c} - p_{y} \\ p_{x} \\ 0 \end{array}) φ_{2} + (\begin{array}{c} - M_{y} \\ M_{x} \\ 0 \end{array}) φ_{3} \\ = (\begin{array}{c} - y φ_{1} - p_{y} φ_{2} - M_{y} φ_{3} \\ x φ_{1} + p_{x} φ_{2} + M_{x} φ_{3} \\ 0 \end{array}) \\ = (\begin{array}{c} - f_{y} \\ f_{x} \\ 0 \end{array}) \\ (2) & = f \times n \end{aligned}

となる. ${r, M_{z}}$ , ${p, M_{z}}$ , ${M, M_{z}}$ の計算は, §42問題1および§42問題2を参照されたい.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.