ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§22の問題5の解説です.
問題
同じ問題を, 時間$0$から$T = 2\pi / \omega$までのあいだ, $F = F_0 \sin \omega t$にしたがって変化する力の場合について解け(図27).
図27問題2は以下の通り.
$t < 0$に対して$F=0$, $0 < t < T$に対して$F = F_0 t / T $, $t > T$に対して$F = F_0$という法則(図24)にしたがって外力が働いたのちに, 系の振動がもつ最終的な振幅を求めよ. 時刻$t=0$までは, 系はつり合いの位置に静止している.
解答作成
ここでは変位$x$ではなく, 次の複素量
\begin{align}
\xi &= \dot{x} + i \omega x \tag{22.9}
\end{align}
を利用して考える. $\xi$に関する次の公式
\begin{align}
\xi &= e^{i \omega t} \left( \int_0^t \frac{1}{m} F(t) e^{-i \omega t} \, \mathrm{d}t + \xi_0 \right) \tag{22.10}
\end{align}
において, 初期条件より$\xi_0 = 0$とし, 与えられた$F(t)$を代入すると, $t > T$では
\begin{align}
\xi &= e^{i \omega t} \int_0^T \frac{F_0}{m} \sin \omega t \, e^{-i \omega t} \, \mathrm{d}t \nonumber \\
&= \frac{F_0}{4m \omega} e^{i\omega t} \left( 1 - e^{-2i \omega T} - 2i\omega T \right) \nonumber \\
&= - i \frac{F_0 \pi}{m \omega} e^{i \omega t} \label{eq_22-5e1}
\end{align}
となる($T = 2\pi / \omega$に注意). 次の式
\begin{align}
E &= \frac{m}{2} \left| \xi \right|^2 \tag{22.11}
\end{align}
に\eqref{eq_22-5e1}を代入して系のエネルギーを計算すると
\begin{align}
E &= \frac{F_0^2 \pi^2}{2m \omega^2} \label{eq_22-5e2}
\end{align}
となるべきである. $t > T$では自由振動をする(外力が働かない)はずなので, 振幅を$a$とすると
\begin{align}
E &= \frac{m}{2} \omega^2 a^2 \label{eq_22-5e3}
\end{align}
となる. \eqref{eq_22-5e2}, \eqref{eq_22-5e3}より,
\begin{align}
\frac{m}{2} \omega^2 a^2 &= \frac{F_0^2 \pi^2}{2m \omega^2} \nonumber \\
a^2 &= \frac{F_0^2 \pi^2}{m^2 \omega^4} \nonumber \\
\therefore a &= \frac{F_0 \pi}{m \omega^2}
\end{align}
となる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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