ランダウ力学 §18問題1 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§18の問題1の解説です.

問題

半径

a

の絶対剛体球(すなわち相互作用が

r < a

で

U = \infty

r > a

で

U = 0

にしたがう)による粒子の散乱断面積を決定せよ.

球の外では粒子は自由に運動し, 一方その内側では運動がそもそも起こり得ない. ゆえに, 軌跡は2つの直線で, その直線は球に触れる点を通る直線に対して対称である.

図19

図19より,

\begin{aligned} ρ & = a \sin φ_{0} \\ = a \sin \frac{π - χ}{2} \\ = a \cos \frac{χ}{2} \end{aligned}

となる. ゆえに,

\begin{aligned} (18.7) & d σ & = 2 π ρ | \frac{d ρ (χ)}{d χ} | d χ \end{aligned}

より

\begin{aligned} d σ & = 2 π a \cos \frac{χ}{2} | - \frac{a}{2} \sin \frac{χ}{2} | d χ \\ (1) & = \frac{π a^{2}}{2} \sin χ d χ \end{aligned}

となり, また

\begin{aligned} (18.8) & d σ & = \frac{ρ (χ)}{\sin χ} | \frac{d ρ (χ)}{d χ} | d o \end{aligned}

より

\begin{aligned} (2) & d σ & = \frac{a^{2}}{4} d o \end{aligned}

となる.

このように, C系では散乱は等方的である. $(1)$ を全ての $χ$ にわたって積分すれば, 全断面積 $σ = π a^{2}$ が求められる. これは, 粒子がともかく散乱されるためにはそこを通らなければならない衝突面積が, 球の断面積であることを示している.

L系に移るためには,

\begin{array}{r} (17.4) & {\begin{aligned} \tan θ_{1} & = \frac{m_{2} \sin χ}{m_{1} + m_{2} \cos χ}, \\ θ_{2} & = \frac{π - χ}{2} \end{aligned} \end{array}

にしたがい $χ$ を $θ_{1}$ で表さなければならない. これは, §16問題2と同様に計算すれば, 以下のようになる.

$m_{1} < m_{2}$ のとき
$\begin{aligned} \frac{d o}{4 π} & = \frac{\sin θ_{1} d θ_{1}}{2} (2 \frac{m_{1}}{m_{2}} \cos θ_{1} + \frac{1 + \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}} \cos 2 θ_{1}}{\sqrt{1 - \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}} \sin^{2} θ_{1}}}) \end{aligned}$
となり, 立体角を使えば
$\begin{aligned} d o & = d o_{1} (2 \frac{m_{1}}{m_{2}} \cos θ_{1} + \frac{1 + \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}} \cos 2 θ_{1}}{\sqrt{1 - \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}} \sin^{2} θ_{1}}}) \end{aligned}$
となる. ゆえに,
$\begin{aligned} (3) & d σ & = \frac{a^{2}}{4} (2 \frac{m_{1}}{m_{2}} \cos θ_{1} + \frac{1 + \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}} \cos 2 θ_{1}}{\sqrt{1 - \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}} \sin^{2} θ_{1}}}) d o_{1} \end{aligned}$
となる.
$m_{1} > m_{2}$ のとき
$\begin{aligned} \frac{d o}{4 π} & = \sin θ_{1} d θ_{1} \frac{1 + \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}} \cos 2 θ_{1}}{\sqrt{1 - \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}} \sin^{2} θ_{1}}} \end{aligned}$
となり, 立体角を使えば
$\begin{aligned} d o & = 2 d o_{1} \frac{1 + \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}} \cos 2 θ_{1}}{\sqrt{1 - \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}} \sin^{2} θ_{1}}} \end{aligned}$
となる. ゆえに,
$\begin{aligned} (4) & d σ & = \frac{a^{2}}{2} \frac{1 + \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}} \cos 2 θ_{1}}{\sqrt{1 - \frac{m_{1}^{2}}{m_{2}^{2}} \sin^{2} θ_{1}}} d o_{1} \end{aligned}$
となる.
$m_{1} = m_{2}$ のときには
$\begin{aligned} (5) & d σ & = a^{2} | \cos θ_{1} | d o_{1} \end{aligned}$
となる.