ランダウ力学 §18問題1 解説

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§18の問題1の解説です.

問題

解答作成

球の外では粒子は自由に運動し, 一方その内側では運動がそもそも起こり得ない. ゆえに, 軌跡は2つの直線で, その直線は球に触れる点を通る直線に対して対称である.

図19

図19より,

となる. ゆえに,

より

となり, また

より

となる.

このように, C系では散乱は等方的である. \eqref{eq_18-e1}を全ての$\chi$にわたって積分すれば, 全断面積$\sigma = \pi a^2$が求められる. これは, 粒子がともかく散乱されるためにはそこを通らなければならない衝突面積が, 球の断面積であることを示している.

L系に移るためには,

にしたがい$\chi$を$\theta_1$で表さなければならない. これは, §16問題2と同様に計算すれば, 以下のようになる.

• $m_1 < m_2$のとき
  \begin{align} \frac{\mathrm{d}o}{4\pi} &= \frac{\sin \theta_1 \, \mathrm{d}\theta_1}{2} \left( 2 \frac{m_1}{m_2} \cos \theta_1 + \frac{1 + \frac{m_1^2}{m_2^2} \cos 2 \theta_1}{\sqrt{1 - \frac{m_1^2}{m_2^2} \sin^2 \theta_1}} \right) \nonumber \end{align}
  となり, 立体角を使えば
  \begin{align} \mathrm{d}o &= \mathrm{d}o_1 \left( 2 \frac{m_1}{m_2} \cos \theta_1 + \frac{1 + \frac{m_1^2}{m_2^2} \cos 2 \theta_1}{\sqrt{1 - \frac{m_1^2}{m_2^2} \sin^2 \theta_1}} \right) \nonumber \end{align}
  となる. ゆえに,
  \begin{align} \mathrm{d}\sigma &= \frac{a^2}{4} \left( 2 \frac{m_1}{m_2} \cos \theta_1 + \frac{1 + \frac{m_1^2}{m_2^2} \cos 2 \theta_1}{\sqrt{1 - \frac{m_1^2}{m_2^2} \sin^2 \theta_1}} \right) \mathrm{d}o_1 \end{align}
  となる.
  
  
• $m_1 > m_2$のとき
  \begin{align} \frac{\mathrm{d}o}{4\pi} &= \sin \theta_1 \, \mathrm{d}\theta_1 \frac{1 + \frac{m_1^2}{m_2^2} \cos 2 \theta_1}{\sqrt{1 - \frac{m_1^2}{m_2^2} \sin^2 \theta_1}} \nonumber \end{align}
  となり, 立体角を使えば
  \begin{align} \mathrm{d}o &= 2 \, \mathrm{d}o_1 \frac{1 + \frac{m_1^2}{m_2^2} \cos 2 \theta_1}{\sqrt{1 - \frac{m_1^2}{m_2^2} \sin^2 \theta_1}} \nonumber \end{align}
  となる. ゆえに,
  \begin{align} \mathrm{d}\sigma &= \frac{a^2}{2} \frac{1 + \frac{m_1^2}{m_2^2} \cos 2 \theta_1}{\sqrt{1 - \frac{m_1^2}{m_2^2} \sin^2 \theta_1}} \mathrm{d}o_1 \end{align}
  となる.
  
  
• $m_1 = m_2$のときには
  \begin{align} \mathrm{d}\sigma &= a^2 \left| \cos \theta_1 \right| \mathrm{d}o_1 \end{align}
  となる.

また, はじめに静止していた球に対しては, いつでも$\chi = \pi - 2 \theta_2$がなりたち,

となる.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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