ランダウ力学 §21問題3 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§21の問題3の解説です.

問題

ばねの一端に結び付けられ, ある直線上を運動することのできる$m$の質点の振動数を求めよ. このばねの他端は, 直線から距離$l$の点$\mathrm{A}$に固定されている(図22). ばねは, 長さ$l$のとき力$F$で引っ張られている.

(手書きの図を紛失してしまったので, 本編p. 74の図22をご覧ください. )

ばねのポテンシャルエネルギーは, (高次の微小量を省略して)力$F$とばねののび$\delta l$の積に等しい. 図22より

\begin{align} \delta l &= \sqrt{l^2 + x^2} - l \nonumber \end{align}

であるが, $x \ll l$ならば

\begin{align} \sqrt{l^2 + x^2} &= l \sqrt{1 + \frac{x^2}{l^2}} \simeq l \left( 1 + \frac{x^2}{2l^2} \right) \nonumber \end{align}

であるから,

\begin{align} \delta l \simeq \frac{x^2}{2l} \nonumber \end{align}

となる. よって, ばねのポテンシャルエネルギーは

\begin{align} U &= \frac{Fx^2}{2l} \nonumber \end{align}

である. 運動エネルギーも考えれば, Lagrangianは

\begin{align} L &= \frac{1}{2} m \dot{x}^2 - \frac{F}{2l} x^2 \nonumber \end{align}

となる. ゆえに, 本編での議論と同様にすれば,

\begin{align} \omega &= \sqrt{\frac{F}{ml}} \end{align}

が, 求める振動数となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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