ランダウ力学 §21問題3 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§21の問題3の解説です.

問題

ばねの一端に結び付けられ, ある直線上を運動することのできる

m

の質点の振動数を求めよ. このばねの他端は, 直線から距離

l

の点

A

に固定されている(図22). ばねは, 長さ

l

のとき力

F

で引っ張られている.

(手書きの図を紛失してしまったので, 本編p. 74の図22をご覧ください. )

ばねのポテンシャルエネルギーは, (高次の微小量を省略して)力 $F$ とばねののび $δ l$ の積に等しい. 図22より

\begin{aligned} δ l & = \sqrt{l^{2} + x^{2}} - l \end{aligned}

であるが, $x ≪ l$ ならば

\begin{aligned} \sqrt{l^{2} + x^{2}} & = l \sqrt{1 + \frac{x^{2}}{l^{2}}} ≃ l (1 + \frac{x^{2}}{2 l^{2}}) \end{aligned}

であるから,

\begin{array}{r} δ l ≃ \frac{x^{2}}{2 l} \end{array}

となる. よって, ばねのポテンシャルエネルギーは

\begin{aligned} U & = \frac{F x^{2}}{2 l} \end{aligned}

である. 運動エネルギーも考えれば, Lagrangianは

\begin{aligned} L & = \frac{1}{2} m {\dot{x}}^{2} - \frac{F}{2 l} x^{2} \end{aligned}

となる. ゆえに, 本編での議論と同様にすれば,

\begin{aligned} (1) & ω & = \sqrt{\frac{F}{m l}} \end{aligned}

が, 求める振動数となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.