ランダウ力学 §40問題2 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§40の問題2の解説です.

問題

一様に回転している基準系で質点のHamiltonianを求めよ.

本編で一様に(角速度 $Ω$ で)回転している基準系における質点の運動量とエネルギーは求めていて, 運動量は

\begin{aligned} (39.10) & p & = \frac{\partial L}{\partial v} = m v + m Ω \times r \end{aligned}

となり, エネルギーは

\begin{array}{r} (39.11) & E = \frac{m v^{2}}{2} - \frac{m}{2} {(Ω \times r)}^{2} + U \end{array}

となる.

系のエネルギーが座標と運動量とで表されているとき, 系のHamiltonianという. よって, $v$ を $r$ , $p$ で表さなくてはならない. 実際, $(39.10)$ より

\begin{aligned} (1) & m v & = p - m Ω \times r \end{aligned}

であるから,

\begin{aligned} m^{2} v^{2} & = p^{2} + m^{2} {(Ω \times r)}^{2} - 2 m p \cdot Ω \times r \\ (2) & = p^{2} + m^{2} {(Ω \times r)}^{2} - 2 m Ω \cdot r \times p \end{aligned}

つまり,

\begin{aligned} (3) & v^{2} & = \frac{p^{2}}{m^{2}} + {(Ω \times r)}^{2} - \frac{2}{m} Ω \cdot r \times p \end{aligned}

となる.

以上からHamiltonianを求める. $(39.11)$ , $(3)$ より, Hamiltonianは

\begin{aligned} H & = \frac{m}{2} (\frac{p^{2}}{m^{2}} + {(Ω \times r)}^{2} - \frac{2}{m} Ω \cdot r \times p) - \frac{m}{2} {(Ω \times r)}^{2} + U \\ (4) & = \frac{p^{2}}{2 m} - Ω \cdot r \times p + U \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.