ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§40の問題2の解説です.
問題
一様に回転している基準系で質点のHamiltonianを求めよ.
解答作成
本編で一様に(角速度$\bm{\Omega}$で)回転している基準系における質点の運動量とエネルギーは求めていて, 運動量は
\begin{align}
\bm{p} &= \frac{\partial L}{\partial \bm{v}} = m \bm{v} + m \bm{\Omega} \times \bm{r} \label{eq_39-10} \tag{39.10}
\end{align}
となり, エネルギーは
\begin{align}
E = \frac{mv^2}{2} - \frac{m}{2} \left( \bm{\Omega} \times \bm{r} \right)^2 + U \label{eq_39-11} \tag{39.11}
\end{align}
となる.
系のエネルギーが座標と運動量とで表されているとき, 系のHamiltonianという. よって, $\bm{v}$を$\bm{r}$, $\bm{p}$で表さなくてはならない. 実際, \eqref{eq_39-10}より
\begin{align}
m\bm{v} &= \bm{p} - m \bm{\Omega} \times \bm{r}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
m^2 v^2 &= p^2 + m^2 \left( \bm{\Omega} \times \bm{r} \right)^2 - 2 m \bm{p} \cdot \bm{\Omega} \times \bm{r} \nonumber \\
&= p^2 + m^2 \left( \bm{\Omega} \times \bm{r} \right)^2 - 2 m \bm{\Omega} \cdot \bm{r} \times \bm{p}
\end{align}
つまり,
\begin{align}
v^2 &= \frac{p^2}{m^2} + \left( \bm{\Omega} \times \bm{r} \right)^2 - \frac{2}{m} \bm{\Omega} \cdot \bm{r} \times \bm{p} \label{eq_40-ex2-1}
\end{align}
となる.
以上からHamiltonianを求める. \eqref{eq_39-11}, \eqref{eq_40-ex2-1}より, Hamiltonianは
\begin{align}
H &= \frac{m}{2} \left( \frac{p^2}{m^2} + \left( \bm{\Omega} \times \bm{r} \right)^2 - \frac{2}{m} \bm{\Omega} \cdot \bm{r} \times \bm{p} \right) - \frac{m}{2} \left( \bm{\Omega} \times \bm{r} \right)^2 + U \nonumber \\
&= \frac{p^2}{2m} - \bm{\Omega} \cdot \bm{r} \times \bm{p} + U
\end{align}
となる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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