ランダウ力学 §18問題4 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§18の問題4の解説です.

問題

U = - α / r^{2}

の場の中心に粒子の「到達」する有効断面積を決定せよ.

本編より,

\begin{array}{r} (14.11) & {r^{2} U (r) |}_{r \to 0} < - \frac{M^{2}}{2 m} \end{array}

を満たすならば, 中心に到達する. 今の場合に計算すると, $U = - α / r^{2}$ , $M = m ρ v_{\infty}$ より,

\begin{array}{r} ρ < \sqrt{\frac{2 α}{m v_{\infty}^{2}}} \end{array}

となる. すなわち, 衝突パラメータ $ρ$ が

\begin{aligned} (1) & ρ_{\max} & = \sqrt{\frac{2 α}{m v_{\infty}^{2}}} \end{aligned}

を超えない粒子のみが, 場の中心に到達するる. したがって, 求める有効断面積は

\begin{aligned} (2) & σ & = π ρ_{\max}^{2} = \frac{2 π α}{m v_{\infty}^{2}} \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.