ランダウ力学 §18問題4 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§18の問題4の解説です.

問題

$U = - \alpha / r^2$の場の中心に粒子の「到達」する有効断面積を決定せよ.

本編より,

\begin{align} \left. r^2 U(r) \right|_{r \to 0} < - \frac{M^2}{2m} \tag{14.11} \end{align}

を満たすならば, 中心に到達する. 今の場合に計算すると, $U = - \alpha / r^2$, $M = m\rho v_{\infty}$より,

\begin{align} \rho < \sqrt{\frac{2\alpha}{mv_{\infty}^2}} \nonumber \end{align}

となる. すなわち, 衝突パラメータ$\rho$が

\begin{align} \rho_{\mathrm{max}} &= \sqrt{\frac{2\alpha}{mv_{\infty}^2}} \end{align}

を超えない粒子のみが, 場の中心に到達するる. したがって, 求める有効断面積は

\begin{align} \sigma &= \pi \rho_{\mathrm{max}}^2 = \frac{2\pi \alpha}{mv_{\infty}^2} \end{align}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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