ランダウ力学 §21問題1 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§21の問題1の解説です.

問題

振動の振幅と初期位相とを座標および速度の初期値

x_{0}

および

v_{0}

によって表せ.

1次元の微小振動の解は

\begin{aligned} (21.7) & x & = c_{1} \cos ω t + c_{2} \sin ω t \\ (21.8) & = a \cos (ω t + α) \end{aligned}

である. また, 任意定数間には

\begin{array}{r} (21.9) & {\begin{aligned} a = \sqrt{c_{1}^{2} + c_{2}^{2}}, \\ \tan α = - \frac{c_{2}}{c_{1}} \end{aligned} \end{array}

の関係がある. $(21.7)$ を $t$ で微分すると

\begin{aligned} (1) & \dot{x} & = - ω c_{1} \sin ω t + ω c_{2} \cos ω t \end{aligned}

となる.

$(21.7)$ において $t = 0$ とすると,

\begin{aligned} (2) & x_{0} & = c_{1} \end{aligned}

を得る. また, $(1)$ において $t = 0$ とすると

\begin{aligned} (3) & v_{0} & = ω c_{2} \end{aligned}

となる. $(21.9)$ に $(2)$ , $(3)$ を代入すると,

\begin{aligned} (4) & a & = \sqrt{x_{0}^{2} + \frac{v_{0}^{2}}{ω^{2}}} \\ (5) & \tan α & = - \frac{v_{0}}{ω x_{0}} \end{aligned}

を得る.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.