ランダウ力学 §21問題1 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§21の問題1の解説です.

問題

振動の振幅と初期位相とを座標および速度の初期値$x_0$および$v_0$によって表せ.

解答作成

1次元の微小振動の解は

\begin{align} x &= c_1 \cos \omega t + c_2 \sin \omega t \tag{21.7} \label{eq_21-m7} \\ &= a \cos \left( \omega t + \alpha \right) \tag{21.8} \label{eq_21-m8} \end{align}

である. また, 任意定数間には

\begin{align} \left\{ \begin{aligned} &a = \sqrt{c_1^2 + c_2^2} , \\ &\tan \alpha = - \frac{c_2}{c_1} \end{aligned} \right. \tag{21.9} \label{eq_21-m9} \end{align}

の関係がある. \eqref{eq_21-m7}を$t$で微分すると

\begin{align} \dot{x} &= - \omega c_1 \sin \omega t + \omega c_2 \cos \omega t \label{eq_21-e1} \end{align}

となる.

\eqref{eq_21-m7}において$t=0$とすると,

\begin{align} x_0 &= c_1 \label{eq_21-e2} \end{align}

を得る. また, \eqref{eq_21-e1}において$t=0$とすると

\begin{align} v_0 &= \omega c_2 \label{eq_21-e3} \end{align}

となる. \eqref{eq_21-m9}に\eqref{eq_21-e2}, \eqref{eq_21-e3}を代入すると,

\begin{align} a &= \sqrt{x_0^2 + \frac{v_0^2}{\omega^2}} \\ \tan \alpha &= - \frac{v_0}{\omega x_0} \end{align}

を得る.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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