ランダウ力学 §21問題4 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§21の問題4の解説です.

問題

同様の問題で, 質点

m

が半径

r

の円周にそって動く場合(図23).

問題2は以下の通り.

ばねの一端に結び付けられ, ある直線上を運動することのできる

m

の質点の振動数を求めよ. このばねの他端は, 直線から距離

l

の点

A

に固体得されている(図22). ばねは, 長さ

l

のとき力

F

で引っ張られている.

図23

ばねのポテンシャルエネルギーは, (高次の微小量を省略して)力 $F$ とばねののび $δ l$ の積に等しい. 図23より, $φ ≪ 1$ として

\begin{aligned} δ l & = \sqrt{{(l + r)}^{2} + r^{2} - 2 (l + r) r \cos φ} - l \\ ≃ \sqrt{{(l + r)}^{2} + r^{2} - 2 (l + r) r (1 - \frac{1}{2} φ^{2})} - l \\ = \sqrt{{(l + r) - r}^{2} + (l + r) r φ^{2}} - l \\ = l \sqrt{1 + \frac{(l + r) r}{l^{2}} φ^{2}} - l \\ ≃ l (1 + \frac{(l + r) r}{2 l^{2}} φ^{2}) - l \\ = \frac{(l + r) r}{2 l} φ^{2} \end{aligned}

となる. よって, ばねのポテンシャルエネルギーは

\begin{aligned} U & = \frac{F (l + r) r}{2 l} φ^{2} \end{aligned}

となる. 運動エネルギーを考えると, Lagrangianは

\begin{aligned} L & = \frac{1}{2} m r^{2} {\dot{φ}}^{2} - \frac{F (l + r) r}{2 l} φ^{2} \end{aligned}

である. 本編での議論と同様にすれば,

\begin{aligned} (1) & ω & = \sqrt{\frac{F (l + r)}{r m l}} \end{aligned}

が, 求める振動数となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.