ランダウ力学 §21問題4 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§21の問題4の解説です.

問題

同様の問題で, 質点$m$が半径$r$の円周にそって動く場合(図23).

問題2は以下の通り.

ばねの一端に結び付けられ, ある直線上を運動することのできる$m$の質点の振動数を求めよ. このばねの他端は, 直線から距離$l$の点$\mathrm{A}$に固体得されている(図22). ばねは, 長さ$l$のとき力$F$で引っ張られている.

図23

解答作成

ばねのポテンシャルエネルギーは, (高次の微小量を省略して)力$F$とばねののび$\delta l$の積に等しい. 図23より, $\varphi \ll 1$として

\begin{align} \delta l &= \sqrt{\left( l + r \right)^2 + r^2 - 2 \left( l + r \right) r \cos \varphi} - l \nonumber \\ &\simeq \sqrt{\left( l + r \right)^2 + r^2 - 2 \left( l + r \right) r \left( 1 - \frac{1}{2} \varphi^2 \right)} - l \nonumber \\ &= \sqrt{\left\{ \left( l + r \right) - r \right\}^2 + \left( l + r \right) r \varphi^2} - l \nonumber \\ &= l \sqrt{1 + \frac{\left( l + r \right) r}{l^2} \varphi^2} - l \nonumber \\ &\simeq l \left( 1 + \frac{\left( l + r \right) r}{2l^2} \varphi^2 \right) - l \nonumber \\ &= \frac{\left( l + r \right) r}{2l} \varphi^2 \nonumber \end{align}

となる. よって, ばねのポテンシャルエネルギーは

\begin{align} U &= \frac{F \left( l + r \right) r}{2l} \varphi^2 \nonumber \end{align}

となる. 運動エネルギーを考えると, Lagrangianは

\begin{align} L &= \frac{1}{2} m r^2 \dot{\varphi}^2 - \frac{F \left( l + r \right) r}{2l} \varphi^2 \nonumber \end{align}

である. 本編での議論と同様にすれば,

\begin{align} \omega &= \sqrt{\frac{F \left( l + r \right)}{rml}} \end{align}

が, 求める振動数となる.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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