ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§20の問題2の解説です.
問題
$U = \alpha / r^n \, (n > 0)$の場による小角度の散乱の有効断面積を求めよ.
解答作成
微小角度での散乱の散乱角$\theta_1$と衝突パラメータ$\rho$の関係式
\begin{align}
\theta_1 &= - \frac{2\rho}{m_1 v_{\infty}^2} \int_{\rho}^{\infty} \frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} r} \frac{\mathrm{d}r}{\sqrt{r^2 - \rho^2}} \tag{20.3} \label{eq_20-2m3}
\end{align}
を用いる.
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{d} r} &= - \alpha n \frac{1}{r^{n+1}} \nonumber
\end{align}
を\eqref{eq_20-2m3}に代入すると
\begin{align}
\theta_1 &= \frac{2\rho \alpha n}{m_1 v_{\infty}^2} \int_{\rho}^{\infty} \frac{\mathrm{d}r}{r^{n+1} \sqrt{r^2 - \rho^2}} \nonumber
\end{align}
となる. ここで,
\begin{align}
u &= \frac{\rho^2}{r^2} \nonumber
\end{align}
の置換を用いると
\begin{align}
\theta_1 &= \frac{\alpha n}{m_1 v_{\infty}^2 \rho^n} \int_0^1 \frac{u^{\frac{n-1}{2}} \mathrm{d}u}{r^{n-1} \sqrt{1-u}} \nonumber \\
&= \frac{\alpha n}{m_1 v_{\infty}^2 \rho^n} \int_0^1 u^{\frac{n+1}{2} - 1} \left( 1-u \right)^{\frac{1}{2} - 1} \mathrm{d}u \nonumber \\
&= \frac{\alpha n}{m_1 v_{\infty}^2 \rho^n} \mathrm{B} \left( \frac{n+1}{2} , \frac{1}{2} \right) \nonumber \\
&= \frac{\alpha n}{m_1 v_{\infty}^2 \rho^n} \frac{\Gamma \left( \frac{n+1}{2} \right) \Gamma \left( \frac{1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{n}{2} + 1 \right)} \nonumber \\
&= \frac{2 \sqrt{\pi} \alpha}{m_1 v_{\infty}^2 \rho^n} \frac{\Gamma \left( \frac{n+1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{n}{2} \right)} \nonumber
\end{align}
となる*1. よって, これを$\rho$について解くと
\begin{align}
\rho^2 &= \left( \frac{2 \sqrt{\pi} \alpha}{m_1 v_{\infty}^2} \frac{\Gamma \left( \frac{n+1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{n}{2} \right)} \right)^{\frac{2}{n}} \theta_1^{- \frac{2}{n}} \nonumber
\end{align}
となり, 微分を計算すると
\begin{align}
\frac{\mathrm{d} \left( \rho^2 \right)}{\mathrm{d} \theta_1} &= - \frac{2}{n} \left( \frac{2 \sqrt{\pi} \alpha}{m_1 v_{\infty}^2} \frac{\Gamma \left( \frac{n+1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{n}{2} \right)} \right)^{\frac{2}{n}} \theta_1^{- \frac{2}{n} - 1} \label{eq_20-2e1}
\end{align}
となる.
ここで, 散乱の有効断面積$\mathrm{d}\sigma$と散乱角$\theta_1$との関係式
\begin{align}
\mathrm{d}\sigma &= \left| \frac{\mathrm{d} \rho}{\mathrm{d} \theta_1} \right| \frac{\rho (\theta_1)}{\theta_1} \mathrm{d}o_1 \tag{20.4} \label{eq_20-2m4}
\end{align}
は,
\begin{align}
\mathrm{d}\sigma &= \left| \frac{\mathrm{d} \left( \rho^2 \right)}{\mathrm{d} \theta_1} \right| \frac{1}{2\theta_1} \mathrm{d}o_1 \label{eq_20-2e2}
\end{align}
と書き直せる. \eqref{eq_20-2e1}, \eqref{eq_20-2e2}より,
\begin{align}
\mathrm{d}\sigma &= \frac{1}{n} \left( \frac{2 \sqrt{\pi} \alpha}{m_1 v_{\infty}^2} \frac{\Gamma \left( \frac{n+1}{2} \right)}{\Gamma \left( \frac{n}{2} \right)} \right)^{\frac{2}{n}} \theta_1^{- \frac{2}{n} - 2} \, \mathrm{d}o_1
\end{align}
となる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
リンク
関連記事
ランダウ力学 §20問題1 解説
ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§20の問題1の解説です. スポンサーリンク 問題 式\eqref{eq_20-m3}を\eqref{eq_18-m4}式から求めよ. \eqref{eq_20-m3}は \beg...
ランダウ力学 解説掲載をしていない問題について
ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の解説掲載をしていない問題についてコメントします. スポンサーリンク 解説作成を検討している問題 解説作成を検討している問題を, 以下に示します. 解説作成の取りやめを決断した問題 解説作成の取...
脚注
*1 : ベータ関数, ガンマ関数については, §11問題2を参照されたい. また, §11問題2で述べていないこととして, ガンマ関数について
\begin{align}
\Gamma \left( z+1 \right) &= z \Gamma \left( z \right) \nonumber
\end{align}
が成り立つことも利用している.
0 件のコメント:
コメントを投稿 (Please feel free to ask me about your questions! You can use Japanese or English in the comments.)