ランダウ力学 §20問題2 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§20の問題2の解説です.

問題

U = α / r^{n} (n > 0)

の場による小角度の散乱の有効断面積を求めよ.

微小角度での散乱の散乱角 $θ_{1}$ と衝突パラメータ $ρ$ の関係式

\begin{aligned} (20.3) & θ_{1} & = - \frac{2 ρ}{m_{1} v_{\infty}^{2}} \int_{ρ}^{\infty} \frac{d U}{d r} \frac{d r}{\sqrt{r^{2} - ρ^{2}}} \end{aligned}

を用いる.

\begin{aligned} \frac{d U}{d r} & = - α n \frac{1}{r^{n + 1}} \end{aligned}

を $(20.3)$ に代入すると

\begin{aligned} θ_{1} & = \frac{2 ρ α n}{m_{1} v_{\infty}^{2}} \int_{ρ}^{\infty} \frac{d r}{r^{n + 1} \sqrt{r^{2} - ρ^{2}}} \end{aligned}

となる. ここで,

\begin{aligned} u & = \frac{ρ^{2}}{r^{2}} \end{aligned}

の置換を用いると

\begin{aligned} θ_{1} & = \frac{α n}{m_{1} v_{\infty}^{2} ρ^{n}} \int_{0}^{1} \frac{u^{\frac{n - 1}{2}} d u}{r^{n - 1} \sqrt{1 - u}} \\ = \frac{α n}{m_{1} v_{\infty}^{2} ρ^{n}} \int_{0}^{1} u^{\frac{n + 1}{2} - 1} {(1 - u)}^{\frac{1}{2} - 1} d u \\ = \frac{α n}{m_{1} v_{\infty}^{2} ρ^{n}} B (\frac{n + 1}{2}, \frac{1}{2}) \\ = \frac{α n}{m_{1} v_{\infty}^{2} ρ^{n}} \frac{Γ (\frac{n + 1}{2}) Γ (\frac{1}{2})}{Γ (\frac{n}{2} + 1)} \\ = \frac{2 \sqrt{π} α}{m_{1} v_{\infty}^{2} ρ^{n}} \frac{Γ (\frac{n + 1}{2})}{Γ (\frac{n}{2})} \end{aligned}

となる^*1. よって, これを $ρ$ について解くと

\begin{aligned} ρ^{2} & = {(\frac{2 \sqrt{π} α}{m_{1} v_{\infty}^{2}} \frac{Γ (\frac{n + 1}{2})}{Γ (\frac{n}{2})})}^{\frac{2}{n}} θ_{1}^{- \frac{2}{n}} \end{aligned}

となり, 微分を計算すると

\begin{aligned} (1) & \frac{d (ρ^{2})}{d θ_{1}} & = - \frac{2}{n} {(\frac{2 \sqrt{π} α}{m_{1} v_{\infty}^{2}} \frac{Γ (\frac{n + 1}{2})}{Γ (\frac{n}{2})})}^{\frac{2}{n}} θ_{1}^{- \frac{2}{n} - 1} \end{aligned}

となる.

ここで, 散乱の有効断面積 $d σ$ と散乱角 $θ_{1}$ との関係式

\begin{aligned} (20.4) & d σ & = | \frac{d ρ}{d θ_{1}} | \frac{ρ (θ_{1})}{θ_{1}} d o_{1} \end{aligned}

は,

\begin{aligned} (2) & d σ & = | \frac{d (ρ^{2})}{d θ_{1}} | \frac{1}{2 θ_{1}} d o_{1} \end{aligned}

と書き直せる. $(1)$ , $(2)$ より,

\begin{aligned} (3) & d σ & = \frac{1}{n} {(\frac{2 \sqrt{π} α}{m_{1} v_{\infty}^{2}} \frac{Γ (\frac{n + 1}{2})}{Γ (\frac{n}{2})})}^{\frac{2}{n}} θ_{1}^{- \frac{2}{n} - 2} d o_{1} \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

*1 : ベータ関数, ガンマ関数については, §11問題2を参照されたい. また, §11問題2で述べていないこととして, ガンマ関数について

\begin{aligned} Γ (z + 1) & = z Γ (z) \end{aligned}

が成り立つことも利用している.