ランダウ力学 §42問題3 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§42の問題3の解説です.

問題

つぎの式を証明せよ：

\begin{aligned} {φ, M_{z}} & = 0 . \end{aligned}

ここで

φ

は粒子の座標および運動量の任意のスカラー関数である.

スカラー関数 $φ$ がベクトル $r$ , $p$ に依存するのは,

の形を通してだけである( $φ$ がスカラー関数であるから, 成り立つ). したがって,

\begin{aligned} \frac{\partial φ}{\partial r} & = \frac{\partial φ}{\partial (r^{2})} \frac{\partial (r^{2})}{\partial r} + \frac{\partial φ}{\partial (p^{2})} \frac{\partial (p^{2})}{\partial r} + \frac{\partial φ}{\partial (r \cdot p)} \frac{\partial (r \cdot p)}{\partial r} \\ (1) & = 2 \frac{\partial φ}{\partial (r^{2})} r + \frac{\partial φ}{\partial (r \cdot p)} p, \\ \frac{\partial φ}{\partial p} & = \frac{\partial φ}{\partial (r^{2})} \frac{\partial (r^{2})}{\partial p} + \frac{\partial φ}{\partial (p^{2})} \frac{\partial (p^{2})}{\partial p} + \frac{\partial φ}{\partial (r \cdot p)} \frac{\partial (r \cdot p)}{\partial p} \\ (2) & = 2 \frac{\partial φ}{\partial (p^{2})} p + \frac{\partial φ}{\partial (r \cdot p)} r \end{aligned}

となる.

$(1)$ , $(2)$ を用いて ${φ, M_{z}}$ を計算すると,

\begin{aligned} {φ, M_{z}} & = {φ, x} p_{y} + {φ, p_{y}} x - {φ, y} p_{x} - {φ, p_{x}} y \\ = - \frac{\partial φ}{\partial p_{x}} p_{y} + \frac{\partial φ}{\partial y} x + \frac{\partial φ}{\partial p_{y}} p_{x} - \frac{\partial φ}{\partial x} y \\ = {(r \times \frac{\partial φ}{\partial r} - \frac{\partial φ}{\partial p} \times p)}_{z} \\ = {r \times (2 \frac{\partial φ}{\partial (r^{2})} r + \frac{\partial φ}{\partial (r \cdot p)} p) - (2 \frac{\partial φ}{\partial (p^{2})} p + \frac{\partial φ}{\partial (r \cdot p)} r) \times p}_{z} \\ = {(\frac{\partial φ}{\partial (r \cdot p)} r \times p - \frac{\partial φ}{\partial (r \cdot p)} r \times p)}_{z} \\ (3) & = 0 \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.