ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§42の問題3の解説です.
問題
つぎの式を証明せよ：
\begin{align}
\left\{ \varphi, M_z \right\} &= 0 . \nonumber
\end{align}
ここで$\varphi$は粒子の座標および運動量の任意のスカラー関数である.
解答作成
スカラー関数$\varphi$がベクトル$\bm{r}$, $\bm{p}$に依存するのは,
- $r^2$
- $p^2$
- $\bm{r} \cdot \bm{p}$
の形を通してだけである($\varphi$がスカラー関数であるから, 成り立つ). したがって,
\begin{align}
\frac{\partial \varphi}{\partial \bm{r}} &= \frac{\partial \varphi}{\partial \left( r^2 \right)} \frac{\partial \left( r^2 \right)}{\partial \bm{r}} + \frac{\partial \varphi}{\partial \left( p^2 \right)} \frac{\partial \left( p^2 \right)}{\partial \bm{r}} + \frac{\partial \varphi}{\partial \left( \bm{r} \cdot \bm{p} \right)} \frac{\partial \left( \bm{r} \cdot \bm{p} \right)}{\partial \bm{r}} \nonumber \\
&= 2 \frac{\partial \varphi}{\partial \left( r^2 \right)} \bm{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial \left( \bm{r} \cdot \bm{p} \right)} \bm{p} , \label{eq_42-ex3-1} \\
\frac{\partial \varphi}{\partial \bm{p}} &= \frac{\partial \varphi}{\partial \left( r^2 \right)} \frac{\partial \left( r^2 \right)}{\partial \bm{p}} + \frac{\partial \varphi}{\partial \left( p^2 \right)} \frac{\partial \left( p^2 \right)}{\partial \bm{p}} + \frac{\partial \varphi}{\partial \left( \bm{r} \cdot \bm{p} \right)} \frac{\partial \left( \bm{r} \cdot \bm{p} \right)}{\partial \bm{p}} \nonumber \\
&= 2 \frac{\partial \varphi}{\partial \left( p^2 \right)} \bm{p} + \frac{\partial \varphi}{\partial \left( \bm{r} \cdot \bm{p} \right)} \bm{r} \label{eq_42-ex3-2}
\end{align}
となる.
\eqref{eq_42-ex3-1}, \eqref{eq_42-ex3-2}を用いて$\left\{ \varphi, M_z \right\}$を計算すると,
\begin{align}
\left\{ \varphi, M_z \right\} &= \left\{ \varphi, x \right\} p_y + \left\{ \varphi, p_y \right\} x - \left\{ \varphi, y \right\} p_x - \left\{ \varphi, p_x \right\} y \nonumber \\
&= - \frac{\partial \varphi}{\partial p_x} p_y + \frac{\partial \varphi}{\partial y} x + \frac{\partial \varphi}{\partial p_y} p_x - \frac{\partial \varphi}{\partial x} y \nonumber \\
&= \left( \bm{r} \times \frac{\partial \varphi}{\partial \bm{r}} - \frac{\partial \varphi}{\partial \bm{p}} \times \bm{p} \right)_z \nonumber \\
&= \left\{ \bm{r} \times \left( 2 \frac{\partial \varphi}{\partial \left( r^2 \right)} \bm{r} + \frac{\partial \varphi}{\partial \left( \bm{r} \cdot \bm{p} \right)} \bm{p} \right) - \left( 2 \frac{\partial \varphi}{\partial \left( p^2 \right)} \bm{p} + \frac{\partial \varphi}{\partial \left( \bm{r} \cdot \bm{p} \right)} \bm{r} \right) \times \bm{p} \right\}_z \nonumber \\
&= \left( \frac{\partial \varphi}{\partial \left( \bm{r} \cdot \bm{p} \right)} \bm{r} \times \bm{p} - \frac{\partial \varphi}{\partial \left( \bm{r} \cdot \bm{p} \right)} \bm{r} \times \bm{p} \right)_z \nonumber \\
&= 0
\end{align}
となる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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