ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§29の問題の解説です.
問題
振動数$\gamma \approx 3 \omega_0$における共鳴に対して, 関数$b(\varepsilon)$を求めよ.
解答作成
第1(線形)近似では,
\begin{align*}
x^{(1)} &= - \frac{f}{8m\omega_0^2} \cos \left( 3 \omega_0 +\varepsilon \right) t
\end{align*}
となる*1. ここで, 第2近似では, 特定の非線形項のみを残して,
\begin{align*}
\ddot{x}^{(2)} + 2\lambda \dot{x}^{(2)} + \omega_0^2 x^{(2)} + \alpha x^{(2) \, 2} + \beta x^{(2) \, 3} &= \frac{3 \beta f}{8m\omega_0^2} \cos \left( 3 \omega_0 +\varepsilon \right) t \cdot x^{(2) \, 2}
\end{align*}
となる. 解の形として
\begin{align*}
x^{(2)} &= b \cos \left[ \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{3} \right) t + \delta \right]
\end{align*}
とおくと, 右辺の強制力の項に, 共鳴の性格をもった
\begin{align*}
\frac{3 \beta b^2 f}{32m\omega_0^2} \cos \left[ \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{3} \right) t - 2\delta \right]
\end{align*}
が得られる*2. したがって, 問題はふたたび, 本節のはじめに考察した非線形系における通常の共鳴の問題に戻る. 関数関係$b(\varepsilon)$は,
\begin{align}
b^2 \left[ \left( \varepsilon - \kappa b^2 \right)^2 + \lambda^2 \right] &= \frac{f^2}{4m^2 \omega_0^2} \tag{29.4}
\end{align}
で$f$を$3 \beta b^2 f / 32\omega_0^2$に, そして$\varepsilon$を$\varepsilon /3$に置き換えることによって,
\begin{align*}
b^2 \left[ \left( \frac{\varepsilon}{3} - \kappa b^2 \right)^2 + \lambda^2 \right] &= \frac{9 \beta^2 b^4 f^2}{4096m^2 \omega_0^6} = Ab^4
\end{align*}
と得られる. ただし, 簡単のため,
\begin{align*}
A &\equiv \frac{9 \beta^2 f^2}{4096 m^2 \omega_0^6}
\end{align*}
とおいている. この方程式の根は,
\begin{align}
b &= 0 , \\
\label{eq_29-e1} b^2 &= \frac{\varepsilon}{3 \kappa} + \frac{A}{2 \kappa^2} \pm \frac{1}{\kappa} \sqrt{\frac{\varepsilon A}{3 \kappa} + \frac{A^2}{4 \kappa^2} - \lambda^2}
\end{align}
である. これから得られる$b$と$\varepsilon$の関係を図1に示す.
図1実線と破線の境目の点においては, \eqref{eq_29-e1}の右辺にある根号の内部が$0$になるから, そこでは
\begin{align*}
\varepsilon_k &= \frac{3 \left( 4 \kappa^2 \lambda^2 - A^2 \right)}{4 \kappa A}
\end{align*}
となり,
\begin{align*}
b_k^2 &= \frac{4 \kappa^2 \lambda^2 + A^2}{4 \kappa^2 A}
\end{align*}
となる. 振動が行われうるのは$\varepsilon \geq \varepsilon_k$の領域だけであるが, $b=0$の状態は常に安定であるから, 振動が励起されるためには, 最初の《一撃》がどうしても必要である.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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脚注
*1 : 非線形項は考慮せず, 線形振動を考えている. さらに減衰率$\lambda$, 外力の振動数の$\omega_0 /2$からのずれ$\varepsilon$が振幅に与える影響も無視している. すなわち,
\begin{align*}
\ddot{x} + \omega_0^2 x &= \frac{f}{m} \cos \left( 3 \omega_0 +\varepsilon \right) t
\end{align*}
を解く. 式(22.4)から, その解は(振幅部分で$\varepsilon$が与える影響を無視すると)
\begin{align*}
x &= \frac{f}{m \left\{ \omega_0^2 - \left( 3 \omega_0 \right)^2 \right\} } \cos \left( 3 \omega_0 +\varepsilon \right) t \\
&= - \frac{f}{8m\omega_0^2} \cos \left( 3 \omega_0 +\varepsilon \right) t
\end{align*}
となる.
*2 : 実際, 三角関数の半角の公式, 積和の公式から,
\begin{align*}
&\quad \cos \left( 3 \omega_0 + \varepsilon \right) t \cdot \cos^2 \left[ \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{3} \right) t + \delta \right] \\
&= \frac{1}{4} \cos \left[ \left( \omega_0 + \frac{\varepsilon}{3} \right) t - 2\delta \right] + (\text{他の振動数の項})
\end{align*}
となる.
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