ランダウ力学 §18問題3 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§18の問題3の解説です.

問題

U \propto r^{- n}

の場で散乱されるとき, 有効断面積は, 粒子の速度

v_{\infty}

にどのように依存するか？

$U \propto r^{- n}$ より, $U$ は座標の $- n$ 次の同次関数である.

\begin{aligned} (10.3a) & \frac{v^{'}}{v} & = {(\frac{l^{'}}{l})}^{\frac{k}{2}} \end{aligned}

より,

\begin{aligned} \frac{l^{'}}{l} & = {(\frac{v^{'}}{v})}^{- \frac{2}{n}} \end{aligned}

であるから, $ρ \propto v_{\infty}^{- \frac{2}{n}}$ である. 本編より

\begin{aligned} (18.8) & d σ & = \frac{ρ (χ)}{\sin χ} | \frac{d ρ (χ)}{d χ} | d o \end{aligned}

であるから, $d σ \propto ρ^{2} d o$ である. よって,

\begin{array}{r} (1) & d σ \propto v_{\infty}^{- \frac{4}{n}} d o \end{array}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.