ランダウ力学 §18問題3 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§18の問題3の解説です.

問題

$U \propto r^{-n}$の場で散乱されるとき, 有効断面積は, 粒子の速度$v_{\infty}$にどのように依存するか？

解答作成

$U \propto r^{-n}$より, $U$は座標の$-n$次の同次関数である.

\begin{align} \frac{v'}{v} &= \left( \frac{l'}{l} \right)^{\frac{k}{2}} \tag{10.3a} \end{align}

より,

\begin{align} \frac{l'}{l} &= \left( \frac{v'}{v} \right)^{- \frac{2}{n}} \nonumber \end{align}

であるから, $\rho \propto v_{\infty}^{- \frac{2}{n}}$である. 本編より

\begin{align} \mathrm{d}\sigma &= \frac{\rho(\chi)}{\sin \chi} \left| \frac{\mathrm{d} \rho(\chi)}{\mathrm{d} \chi} \right| \mathrm{d}o \tag{18.8} \end{align}

であるから, $\mathrm{d}\sigma \propto \rho^2 \, \mathrm{d}o$である. よって,

\begin{align} \mathrm{d}\sigma \propto v_{\infty}^{- \frac{4}{n}} \, \mathrm{d}o \end{align}

となる.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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