ランダウ力学 §32問題6 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§32の問題6の解説です.

問題

半径

R

の円柱の内側の面にそってころがる半径

a

の一様な運動エネルギーを見いだせ.

図41

並進運動のエネルギーと回転運動のエネルギーに分けて考える.

外側と内側の両方の円柱の中心を結ぶ直線と鉛直軸の間の角度を $φ$ とする. この角度は, 円柱が転がっていくにつれて変化する.

さて, 並進運動を瞬間的に考えると, 外側の円柱の軸を回転軸とした回転運動と考えられる(ある意味, そのままである). その回転運動の角速度は当然, $\dot{φ}$ である. 慣性中心は外側の円柱の軸から $R - a$ だけ離れているから, 慣性中心の運動の速さは

\begin{aligned} (1) & V & = \dot{φ} (R - a) \end{aligned}

である. 円柱の質量を $μ$ とすれば, 並進運動の運動エネルギーは

\begin{aligned} (2) & T_{並進} & = \frac{μ}{2} V^{2} = \frac{μ}{2} {(R - a)}^{2} {\dot{φ}}^{2} \end{aligned}

となる.

続いて, 回転運動のエネルギーについて考える. 円柱の軸のまわりの慣性モーメントを $I_{3}$ とする. この回転運動の角速度 $Ω$ は, 外側と内側の両方の円柱の瞬間的な接線のまわりの回転の速さとして計算される. すなわち,

\begin{aligned} (3) & V & = a Ω \end{aligned}

となる $Ω$ であるから,

\begin{aligned} (4) & Ω & = \frac{V}{a} = \dot{φ} \frac{R - a}{a} \end{aligned}

となる. ゆえに, 回転運動の運動エネルギーは

\begin{aligned} (5) & T_{回転} & = \frac{I_{3} Ω^{2}}{2} = \frac{I_{3}}{2} \frac{{(R - a)}^{2}}{a^{2}} {\dot{φ}}^{2} \end{aligned}

となる. 一様な円柱の軸のまわりの慣性モーメント $I_{3}$ は§32問題2のcで求められており,

\begin{aligned} (6) & I_{3} & = \frac{μ}{2} a^{2} \end{aligned}

となるから, これを代入すると

\begin{aligned} (7) & T_{回転} & = \frac{I_{3} Ω^{2}}{2} = \frac{μ}{2} {(R - a)}^{2} {\dot{φ}}^{2} \end{aligned}

となる.

以上から, 求める運動エネルギーは,

\begin{aligned} (8) & T & = \frac{3 μ}{4} {(R - a)}^{2} {\dot{φ}}^{2} \end{aligned}

である.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.