ランダウ力学 §39問題1 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§39の問題1の解説です.

1問題
2解答作成
- 2.1具体例を挙げて考える
3参考文献
- 3.1ちなみに
4関連記事
5脚注

問題

自由落下する物体が, 地球の自転(その角速度は小さいとみなす)によって鉛直方向からそらされる大きさを見いだせ.

解答作成

重力加速度ベクトルを $g$ とすると, 重力場は

\begin{aligned} (1) & U & = - m g \cdot r \end{aligned}

となる. 非慣性系における運動方程式

\begin{array}{r} (39.7) & m \frac{d v}{d t} = - \frac{\partial U}{\partial r} - m W + m r \times Ω + 2 m v \times Ω + m {Ω \times (r \times Ω)} \end{array}

において, 重力場のポテンシャルエネルギーを代入し, $W = 0$ (地球の並進運動の影響はしない), $\dot{Ω} = 0$ (地球の自転の角速度は変化しないとする)とし, $Ω$ の2次以上の項を無視(地球の自転の角速度は小さいとする)すると, 最終的にCoriolisの力だけが残り,

\begin{aligned} (2) & \dot{v} & = 2 v \times Ω + g \end{aligned}

となる.

$(2)$ をPicardの逐次近似法(Picard iteration)によって解く. 積分方程式に変換すると,

\begin{aligned} (3) & v_{n} & = v_{0} + \int_{0}^{t} (2 v_{n - 1} \times Ω + g) d t \end{aligned}

となる(ただし, 初速度 $v_{0}$ の時刻を $t = 0$ とする).

$n = 1$ のとき,
$\begin{aligned} v_{1} & = v_{0} + \int_{0}^{t} (2 v_{0} \times Ω + g) d t \\ (4) & = v_{0} + g t + 2 t v_{0} \times Ω \end{aligned}$
となる.
$n = 2$ のとき,
$\begin{aligned} v_{2} & = v_{0} + \int_{0}^{t} (2 v_{1} \times Ω + g) d t \\ = v_{0} + \int_{0}^{t} {2 (v_{0} + g t + 2 t v_{0} \times Ω) \times Ω + g} d t \\ = v_{0} + 2 t v_{0} \times Ω + t^{2} g \times Ω + 2 t^{2} (v_{0} \times Ω) \times Ω + g t \\ (5) & \approx v_{0} + 2 t v_{0} \times Ω + t^{2} g \times Ω + g t \end{aligned}$
となる( $Ω$ の2次以上の項を無視). これ以上逐次近似を重ねても, $Ω$ の2次以上の項を無視する限りは変化はない.

これを積分して,

\begin{aligned} (6) & r & = h + v_{0} t + \frac{t^{2}}{2} g + t^{2} v_{0} \times Ω + \frac{t^{3}}{3} g \times Ω \end{aligned}

を得る(ただし, 粒子の最初の位置ベクトルを $h$ とする).

さて, 具体的に粒子の位置を北半球とし,

$z$ 軸を鉛直方向に
$x$ 軸を子午線に沿って極へ向かう方向に

とる. すると, 重力加速度ベクトル $g$ に関しては,

\begin{aligned} (7) & g & = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ - g \end{array}) \end{aligned}

となり, 角速度ベクトル $Ω$ に関しては,

\begin{aligned} (8) & Ω & = (\begin{array}{c} Ω \cos λ \\ 0 \\ Ω \sin λ \end{array}) \end{aligned}

となる(ただし, $λ$ は北緯である). そして, 自由落下を考えるから $v_{0} = 0$ とし, 粒子の最初の位置ベクトル $h$ を

\begin{aligned} (9) & h & = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ h \end{array}) \end{aligned}

とすれば, $(6)$ より

\begin{aligned} (10) & x & = 0, \\ (11) & y & = - \frac{t^{3}}{3} g Ω \cos λ, \\ (12) & z & = h + \frac{t^{2}}{2} g \end{aligned}

となる.

自由落下に要する時間は, $(12)$ で $z = 0$ として,

\begin{aligned} (13) & t & = \sqrt{\frac{2 h}{g}} \end{aligned}

と求められる. これを $(11)$ に代入して,

\begin{aligned} (14) & y & = - \frac{1}{3} {(\frac{2 h}{g})}^{3 / 2} g Ω \cos λ \end{aligned}

となる. つまり, 自由落下する物体は, 地球の自転によって鉛直方向から $(14)$ の大きさだけそらされる(そして, そのそらされる方向は東である)ことが分かる.

具体例を挙げて考える

以下のように具体的に状況を設定して考えてみよう.

重力加速度は $9.8 m s^{- 2}$ である^*1.
東京付近の状況を考える. 東京は北緯 $35^{\circ}$ である^*2.
自由落下のスタート地点として, 東京スカイツリー天望回廊を考える. 東京スカイツリー天望回廊の高さは $4.5 \times 10^{2} m$ である^*3.
地球の恒星日は $8.6 \times 10^{4} s$ である^*4から, これを基に角速度を計算すると $7.3 \times 10^{- 5} rad s^{- 1}$ である.

以上を $(14)$ に入れて計算すると, $1.7 \times 10^{- 1} m$ , つまり約 $17 cm$ である.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

力学 (増訂第3版) ランダウ=リフシッツ理論物理学教程

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ちなみに

Picardの逐次近似法に関しては, 多くの常微分方程式の教科書に記載があることと思います. 例として下に挙げておきます.

大谷光春. 理工基礎常微分方程式論. サイエンス社, 2011, 215p., (ライブラリ新数学体系), ISBN 978-4-7819-1273-8.

理工基礎常微分方程式論 (ライブラリ新数学大系)

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脚注

*1 : Physical Measurement Laboratory of NIST. “CODATA Value: standard acceleration of gravity”. Fundamental Physical Constants from NIST. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn, (accessed 2020-12-05).

*2 : 国土地理院. “都道府県の庁舎及び東西南北端点の経緯度(世界測地系)”. https://www.gsi.go.jp/KOKUJYOHO/CENTER/kendata/zenken.pdf, (参照 2021-02-20).

*3 : 東武鉄道株式会社, 東武タワースカイツリー株式会社. “アウトライン | 東京スカイツリーを知る”. 東京スカイツリーオフィシャルサイト. https://www.tokyo-skytree.jp/about/outline/, (参照 2021-02-20).

*4 : 日本天文学会. “恒星日”. 天文学辞典. 2019-01-07. https://astro-dic.jp/sidereal-day/, (参照 2021-02-20).

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