ランダウ力学 §39問題1 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§39の問題1の解説です.

問題

自由落下する物体が, 地球の自転(その角速度は小さいとみなす)によって鉛直方向からそらされる大きさを見いだせ.

解答作成

重力加速度ベクトルを$\bm{g}$とすると, 重力場は

\begin{align} U &= - m \bm{g} \cdot \bm{r} \end{align}

となる. 非慣性系における運動方程式

\begin{align} m \frac{\mathrm{d} \bm{v}}{\mathrm{d} t} = - \frac{\partial U}{\partial \bm{r}} - m \bm{W} + m \bm{r} \times \bm{\Omega} + 2 m \bm{v} \times \bm{\Omega} + m \left\{ \bm{\Omega} \times \left( \bm{r} \times \bm{\Omega} \right) \right\} \label{eq_39-7} \tag{39.7} \end{align}

において, 重力場のポテンシャルエネルギーを代入し, $\bm{W} = \bm{0}$(地球の並進運動の影響はしない), $\dot{\bm{\Omega}} = \bm{0}$(地球の自転の角速度は変化しないとする)とし, $\bm{\Omega}$の2次以上の項を無視(地球の自転の角速度は小さいとする)すると, 最終的にCoriolisの力だけが残り,

\begin{align} \dot{\bm{v}} &= 2 \bm{v} \times \bm{\Omega} + \bm{g} \label{eq_39-ex1-1} \end{align}

となる.

\eqref{eq_39-ex1-1}をPicardの逐次近似法(Picard iteration)によって解く. 積分方程式に変換すると,

\begin{align} \bm{v}_n &= \bm{v_0} + \int_0^t \left( 2 \bm{v}_{n-1} \times \bm{\Omega} + \bm{g} \right) \, \mathrm{d}t \end{align}

となる(ただし, 初速度$\bm{v}_0$の時刻を$t=0$とする).

$n=1$のとき,
\begin{align} \bm{v}_1 &= \bm{v_0} + \int_0^t \left( 2 \bm{v}_0 \times \bm{\Omega} + \bm{g} \right) \, \mathrm{d}t \nonumber \\ &= \bm{v}_0 + \bm{g} t + 2 t \bm{v}_0 \times \bm{\Omega} \end{align}
となる.
$n=2$のとき,
\begin{align} \bm{v}_2 &= \bm{v_0} + \int_0^t \left( 2 \bm{v}_1 \times \bm{\Omega} + \bm{g} \right) \, \mathrm{d}t \nonumber \\ &= \bm{v_0} + \int_0^t \left\{ 2 \left( \bm{v}_0 + \bm{g} t + 2 t \bm{v}_0 \times \bm{\Omega} \right) \times \bm{\Omega} + \bm{g} \right\} \, \mathrm{d}t \nonumber \\ &= \bm{v}_0 + 2t \bm{v}_0 \times \bm{\Omega} + t^2 \bm{g} \times \bm{\Omega} + 2t^2 \left( \bm{v}_0 \times \bm{\Omega} \right) \times \bm{\Omega} + \bm{g}t \nonumber \\ &\approx \bm{v}_0 + 2t \bm{v}_0 \times \bm{\Omega} + t^2 \bm{g} \times \bm{\Omega} + \bm{g}t \end{align}
となる($\bm{\Omega}$の2次以上の項を無視). これ以上逐次近似を重ねても, $\bm{\Omega}$の2次以上の項を無視する限りは変化はない.

これを積分して,

\begin{align} \bm{r} &= \bm{h} + \bm{v}_0 t + \frac{t^2}{2} \bm{g} + t^2 \bm{v}_0 \times \bm{\Omega} + \frac{t^3}{3} \bm{g} \times \bm{\Omega} \label{eq_39-ex1-2} \end{align}

を得る(ただし, 粒子の最初の位置ベクトルを$\bm{h}$とする).

さて, 具体的に粒子の位置を北半球とし,

$z$軸を鉛直方向に
$x$軸を子午線に沿って極へ向かう方向に

とる. すると, 重力加速度ベクトル$\bm{g}$に関しては,

\begin{align} \bm{g} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -g \end{pmatrix} \end{align}

となり, 角速度ベクトル$\bm{\Omega}$に関しては,

\begin{align} \bm{\Omega} &= \begin{pmatrix} \Omega \cos \lambda \\ 0 \\ \Omega \sin \lambda \end{pmatrix} \end{align}

となる(ただし, $\lambda$は北緯である). そして, 自由落下を考えるから$\bm{v}_0 = \bm{0}$とし, 粒子の最初の位置ベクトル$\bm{h}$を

\begin{align} \bm{h} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ h \end{pmatrix} \end{align}

とすれば, \eqref{eq_39-ex1-2}より

\begin{align} x &= 0 , \\ y &= - \frac{t^3}{3} g \Omega \cos \lambda , \label{eq_39-ex1-3} \\ z &= h + \frac{t^2}{2} g \label{eq_39-ex1-4} \end{align}

となる.

自由落下に要する時間は, \eqref{eq_39-ex1-4}で$z = 0$として,

\begin{align} t &= \sqrt{\frac{2h}{g}} \end{align}

と求められる. これを\eqref{eq_39-ex1-3}に代入して,

\begin{align} y &= - \frac{1}{3} \left( \frac{2h}{g} \right)^{3/2} g \Omega \cos \lambda \label{eq_39-ex1-5} \end{align}

となる. つまり, 自由落下する物体は, 地球の自転によって鉛直方向から\eqref{eq_39-ex1-5}の大きさだけそらされる(そして, そのそらされる方向は東である)ことが分かる.

具体例を挙げて考える

以下のように具体的に状況を設定して考えてみよう.

重力加速度は$9.8 \, \mathrm{m} \, \mathrm{s}^{-2}$である^*1.
東京付近の状況を考える. 東京は北緯$35^\circ$である^*2.
自由落下のスタート地点として, 東京スカイツリー天望回廊を考える. 東京スカイツリー天望回廊の高さは$4.5 \times 10^2 \, \mathrm{m}$である^*3.
地球の恒星日は$8.6 \times 10^4 \, \mathrm{s}$である^*4から, これを基に角速度を計算すると$7.3 \times 10^{-5} \, \mathrm{rad} \, \mathrm{s}^{-1}$である.

以上を\eqref{eq_39-ex1-5}に入れて計算すると, $1.7 \times 10^{-1} \, \mathrm{m}$, つまり約$17 \, \mathrm{cm}$である.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

リンク

ちなみに

Picardの逐次近似法に関しては, 多くの常微分方程式の教科書に記載があることと思います. 例として下に挙げておきます.

大谷光春. 理工基礎常微分方程式論. サイエンス社, 2011, 215p., (ライブラリ新数学体系), ISBN 978-4-7819-1273-8.
リンク

脚注

*1 : Physical Measurement Laboratory of NIST. “CODATA Value: standard acceleration of gravity”. Fundamental Physical Constants from NIST. https://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?gn, (accessed 2020-12-05).

*2 : 国土地理院. “都道府県の庁舎及び東西南北端点の経緯度(世界測地系)”. https://www.gsi.go.jp/KOKUJYOHO/CENTER/kendata/zenken.pdf, (参照 2021-02-20).

*3 : 東武鉄道株式会社, 東武タワースカイツリー株式会社. “アウトライン | 東京スカイツリーを知る”. 東京スカイツリーオフィシャルサイト. https://www.tokyo-skytree.jp/about/outline/, (参照 2021-02-20).

*4 : 日本天文学会. “恒星日”. 天文学辞典. 2019-01-07. https://astro-dic.jp/sidereal-day/, (参照 2021-02-20).

ランダウ力学 §39問題1 解説

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解答作成

具体例を挙げて考える

参考文献

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