ランダウ力学 §5問題2 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§5の問題2の解説です.

問題

一様な重力場(重力加速度$g$)のなかにある, つぎのような系のLagrangianを求めよ.

質量$m_2$の単振子, その支点となっている質点(質量$m_1$)が水平方向に運動できるようになっている(図2).

図2

解答作成

質点$m_1$の運動方向を$x$軸, 下向き鉛直線を$y$軸とする. $x$軸上に座標原点を任意にとり, 質点$m_1$の座標を$( x , 0 )$とする. すると, 質点$m_1$の運動エネルギー$T_1$は,

\begin{align} T_1 &= \frac{1}{2} m_1 \left( \dot{x}^2 + 0^2 \right) \nonumber \\ &= \frac{1}{2} m_1 \dot{x}^2 \label{eq_5-e5} \end{align}

となり, ポテンシャルエネルギー$U_1$は,

\begin{align} U_1 &= - m_1 g \times 0 \nonumber \\ &= 0 \label{eq_5-e6} \end{align}

となる.

一方, 単振り子の糸と鉛直線の間の角度を$\varphi$とすると, 質点$m_2$の座標は$( x + l \sin \varphi , l \cos \varphi )$となる. すると, 質点$m_2$の運動エネルギー$T_2$は,

\begin{align} T_2 &= \frac{1}{2} m_2 \left\{ \left( \dot{x} + l \dot{\varphi} \cos \varphi \right)^2 + \left( - l \dot{\varphi} \sin \varphi \right)^2 \right\} \nonumber \\ &= \frac{1}{2} \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m_2 l^2 \dot{\varphi}^2 + m_2 l \dot{x} \dot{\varphi} \cos \varphi \label{eq_5-e7} \end{align}

となり, ポテンシャルエネルギー$U_2$は,

\begin{align} U_2 &= - m_2 g l \cos \varphi \label{eq_5-e8} \end{align}

となる.

\eqref{eq_5-e5}, \eqref{eq_5-e6}, \eqref{eq_5-e7}, \eqref{eq_5-e8}より, この系のLagrangianは,

\begin{align} L &= T_1 + T_2 - U_1 - U_2 \nonumber \\ &= \frac{1}{2} \left( m_1 + m_2 \right) \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m_2 l^2 \dot{\varphi}^2 + m_2 l \dot{x} \dot{\varphi} \cos \varphi + m_2 g l \cos \varphi \end{align}

となる.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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