ランダウ力学 §5問題2 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§5の問題2の解説です.

問題

一様な重力場(重力加速度

g

)のなかにある, つぎのような系のLagrangianを求めよ.

図2

質点 $m_{1}$ の運動方向を $x$ 軸, 下向き鉛直線を $y$ 軸とする. $x$ 軸上に座標原点を任意にとり, 質点 $m_{1}$ の座標を $(x, 0)$ とする. すると, 質点 $m_{1}$ の運動エネルギー $T_{1}$ は,

\begin{aligned} T_{1} & = \frac{1}{2} m_{1} ({\dot{x}}^{2} + 0^{2}) \\ (1) & = \frac{1}{2} m_{1} {\dot{x}}^{2} \end{aligned}

となり, ポテンシャルエネルギー $U_{1}$ は,

\begin{aligned} U_{1} & = - m_{1} g \times 0 \\ (2) & = 0 \end{aligned}

となる.

一方, 単振り子の糸と鉛直線の間の角度を $φ$ とすると, 質点 $m_{2}$ の座標は $(x + l \sin φ, l \cos φ)$ となる. すると, 質点 $m_{2}$ の運動エネルギー $T_{2}$ は,

\begin{aligned} T_{2} & = \frac{1}{2} m_{2} {{(\dot{x} + l \dot{φ} \cos φ)}^{2} + {(- l \dot{φ} \sin φ)}^{2}} \\ (3) & = \frac{1}{2} {\dot{x}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} l^{2} {\dot{φ}}^{2} + m_{2} l \dot{x} \dot{φ} \cos φ \end{aligned}

となり, ポテンシャルエネルギー $U_{2}$ は,

\begin{aligned} (4) & U_{2} & = - m_{2} g l \cos φ \end{aligned}

となる.

$(1)$ , $(2)$ , $(3)$ , $(4)$ より, この系のLagrangianは,

\begin{aligned} L & = T_{1} + T_{2} - U_{1} - U_{2} \\ (5) & = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) {\dot{x}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} l^{2} {\dot{φ}}^{2} + m_{2} l \dot{x} \dot{φ} \cos φ + m_{2} g l \cos φ \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.