ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§14の問題3の解説です.
問題
支点(それ自身質量$m_1$をもつ)が水平方向に運動できる平面振子の運動方程式を積分せよ(図2参照).
図2解答作成
Lagrangianは§5問題2で求まっていて,
\begin{align}
L &= \frac{1}{2} \left( m_1 + m_2 \right) \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m_2 l^2 \dot{\varphi}^2 + m_2 l \dot{x} \dot{\varphi} \cos \varphi + m_2 g l \cos \varphi
\end{align}
である.
ここで, $\partial L / \partial x = 0$であるから, 一般運動量$p_x$は保存する. すなわち,
\begin{align}
p_x &= \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = \left( m_1 + m_2 \right) \dot{x} + m_2 l \dot{\varphi} \cos \varphi = \text{const} \nonumber
\end{align}
である. この定数については, 系が全体として$x$軸方向に静止していると考えることによって, $0$にすることが可能である. ゆえに,
\begin{align}
\left( m_1 + m_2 \right) \dot{x} + m_2 l \dot{\varphi} \cos \varphi &= 0 \label{eq_14-3e1}
\end{align}
である*1.
エネルギー$E$は
\begin{align}
E &= \frac{m_1 + m_2}{2} \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m_2 l^2 \dot{\varphi}^2 + m_2 l \dot{x} \dot{\varphi} \cos \varphi - m_2 g l \cos \varphi \nonumber
\end{align}
となるが, \eqref{eq_14-3e1}を用いて$\dot{x}$を消去すると,
\begin{align}
E &= \frac{m_1 + m_2}{2} \left( - \frac{m_2 l \dot{\varphi} \cos \varphi}{m_1 + m_2} \right)^2 + \frac{1}{2} m_2 l^2 \dot{\varphi}^2 \nonumber \\
&\quad + m_2 l \left( - \frac{m_2 l \dot{\varphi} \cos \varphi}{m_1 + m_2} \right) \dot{\varphi} \cos \varphi - m_2 g l \cos \varphi \nonumber \\
&= \frac{m_2 l^2 \dot{\varphi}^2}{2} \left( 1 - \frac{m_2}{m_1 + m_2} \cos^2 \varphi \right) - m_2 g l \cos \varphi
\end{align}
となる. この式を変形して
\begin{align}
\dot{\varphi}^2 &= \frac{2 \left( m_1 + m_2 \right) \left( E + m_2 gl \cos \varphi \right)}{m_2 l^2 \left( m_1 + m_2 \sin^2 \varphi \right)} \nonumber \\
\dot{\varphi} &= \sqrt{\frac{2 \left( m_1 + m_2 \right) \left( E + m_2 gl \cos \varphi \right)}{m_2 l^2 \left( m_1 + m_2 \sin^2 \varphi \right)}}
\end{align}
となるから, 変数分離で積分して
\begin{align}
t &= l \sqrt{\frac{m_2}{2 \left( m_1 + m_2 \right)}} \int \sqrt{\frac{m_1 + m_2 \sin^2 \varphi}{E + m_2 gl \cos \varphi}} \mathrm{d} \varphi
\end{align}
となる.
運動の軌道に関する考察
$m_1$の座標を\eqref{eq_14-3e2}を用いて$\varphi$で書き直すと(ただし, $\text{const} = 0$とする),
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
x &= - \frac{m_2 l \sin \varphi}{m_1 + m_2}, \\
y &= 0
\end{aligned}
\right.
\end{align}
となるから, 慣性中心が静止している慣性基準系を選べば, $m_1$は周期的な往復軌道となることが分かる. $m_1 \to \infty$で静止する.
また, $m_2$の座標を\eqref{eq_14-3e2}を用いて$\varphi$で書き直すと(ただし, $\text{const} = 0$とする),
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
x &= - \frac{m_2 l \sin \varphi}{m_1 + m_2} + l \sin \varphi = l \left( 1 - \frac{m_2}{m_1+m_2} \right) \sin \varphi, \\
y &= l \cos \varphi
\end{aligned}
\right.
\end{align}
となる. 計算すると
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
\sin \varphi &= \frac{x}{l \left( 1 - \frac{m_2}{m_1+m_2} \right)} = \frac{m_1+m_2}{m_1 l} x , \\
\cos \varphi &= \frac{y}{l}
\end{aligned}
\right. \nonumber
\end{align}
であるから,
\begin{align}
\left( \frac{m_1+m_2}{m_1 l} \right)^2 x^2 + \left( \frac{1}{l} \right)^2 y^2 = 1
\end{align}
となる. ゆえに, 軌道は
- 水平方向に$m_1 l / \left( m_1 + m_2 \right)$
- 鉛直方向に$l$
の半径をもつ楕円軌道(の一部)となることが分かる. $m_1 \to \infty$で
の半径をもつ楕円軌道(の一部), つまり半径$l$の円軌道(の一部)となることが分かる.
以上から, $m_1 \to \infty$でこの系は単振子の挙動に近づくことが分かる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
リンク
脚注
*1 : なお, \eqref{eq_14-3e1}を$t$について積分すると,
\begin{align}
\left( m_1 + m_2 \right) x + m_2 l \sin \varphi &= \text{const} \nonumber
\end{align}
つまり
\begin{align}
\frac{\left( m_1 + m_2 \right) x + m_2 l \sin \varphi}{m_1+m_2} &= \text{const} \label{eq_14-3e2}
\end{align}
となるから, いま選んだ慣性基準系では, 慣性中心が静止していることがわかる.
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