ランダウ力学 §14問題3 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§14の問題3の解説です.

1問題
2解答作成
- 2.1運動の軌道に関する考察
3参考文献
4脚注
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問題

支点(それ自身質量

m_{1}

をもつ)が水平方向に運動できる平面振子の運動方程式を積分せよ(図2参照).

図2

解答作成

Lagrangianは§5問題2で求まっていて,

\begin{aligned} (1) & L & = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) {\dot{x}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} l^{2} {\dot{φ}}^{2} + m_{2} l \dot{x} \dot{φ} \cos φ + m_{2} g l \cos φ \end{aligned}

である.

ここで, $\partial L / \partial x = 0$ であるから, 一般運動量 $p_{x}$ は保存する. すなわち,

\begin{aligned} p_{x} & = \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} = (m_{1} + m_{2}) \dot{x} + m_{2} l \dot{φ} \cos φ = const \end{aligned}

である. この定数については, 系が全体として $x$ 軸方向に静止していると考えることによって, $0$ にすることが可能である. ゆえに,

\begin{aligned} (2) & (m_{1} + m_{2}) \dot{x} + m_{2} l \dot{φ} \cos φ & = 0 \end{aligned}

である^*1.

エネルギー $E$ は

\begin{aligned} E & = \frac{m_{1} + m_{2}}{2} {\dot{x}}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} l^{2} {\dot{φ}}^{2} + m_{2} l \dot{x} \dot{φ} \cos φ - m_{2} g l \cos φ \end{aligned}

となるが, $(2)$ を用いて $\dot{x}$ を消去すると,

\begin{aligned} E & = \frac{m_{1} + m_{2}}{2} {(- \frac{m_{2} l \dot{φ} \cos φ}{m_{1} + m_{2}})}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} l^{2} {\dot{φ}}^{2} \\ + m_{2} l (- \frac{m_{2} l \dot{φ} \cos φ}{m_{1} + m_{2}}) \dot{φ} \cos φ - m_{2} g l \cos φ \\ (3) & = \frac{m_{2} l^{2} {\dot{φ}}^{2}}{2} (1 - \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \cos^{2} φ) - m_{2} g l \cos φ \end{aligned}

となる. この式を変形して

\begin{aligned} {\dot{φ}}^{2} & = \frac{2 (m_{1} + m_{2}) (E + m_{2} g l \cos φ)}{m_{2} l^{2} (m_{1} + m_{2} \sin^{2} φ)} \\ (4) & \dot{φ} & = \sqrt{\frac{2 (m_{1} + m_{2}) (E + m_{2} g l \cos φ)}{m_{2} l^{2} (m_{1} + m_{2} \sin^{2} φ)}} \end{aligned}

となるから, 変数分離で積分して

\begin{aligned} (5) & t & = l \sqrt{\frac{m_{2}}{2 (m_{1} + m_{2})}} \int \sqrt{\frac{m_{1} + m_{2} \sin^{2} φ}{E + m_{2} g l \cos φ}} d φ \end{aligned}

となる.

運動の軌道に関する考察

$m_{1}$ の座標を $(9)$ を用いて $φ$ で書き直すと(ただし, $const = 0$ とする),

\begin{array}{r} (6) & {\begin{aligned} x & = - \frac{m_{2} l \sin φ}{m_{1} + m_{2}}, \\ y & = 0 \end{aligned} \end{array}

となるから, 慣性中心が静止している慣性基準系を選べば, $m_{1}$ は周期的な往復軌道となることが分かる. $m_{1} \to \infty$ で静止する.

また, $m_{2}$ の座標を $(9)$ を用いて $φ$ で書き直すと(ただし, $const = 0$ とする),

\begin{array}{r} (7) & {\begin{aligned} x & = - \frac{m_{2} l \sin φ}{m_{1} + m_{2}} + l \sin φ = l (1 - \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}}) \sin φ, \\ y & = l \cos φ \end{aligned} \end{array}

となる. 計算すると

\begin{array}{r} {\begin{aligned} \sin φ & = \frac{x}{l (1 - \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}})} = \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1} l} x, \\ \cos φ & = \frac{y}{l} \end{aligned} \end{array}

であるから,

\begin{array}{r} (8) & {(\frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1} l})}^{2} x^{2} + {(\frac{1}{l})}^{2} y^{2} = 1 \end{array}

となる. ゆえに, 軌道は

水平方向に $m_{1} l / (m_{1} + m_{2})$
鉛直方向に $l$

の半径をもつ楕円軌道(の一部)となることが分かる. $m_{1} \to \infty$ で

水平方向に $l$
鉛直方向に $l$

の半径をもつ楕円軌道(の一部), つまり半径 $l$ の円軌道(の一部)となることが分かる.

以上から, $m_{1} \to \infty$ でこの系は単振子の挙動に近づくことが分かる.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

力学 (増訂第3版) ランダウ=リフシッツ理論物理学教程

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脚注

*1 : なお, $(2)$ を $t$ について積分すると, $\begin{aligned} (m_{1} + m_{2}) x + m_{2} l \sin φ & = const \end{aligned}$ つまり $\begin{aligned} (9) & \frac{(m_{1} + m_{2}) x + m_{2} l \sin φ}{m_{1} + m_{2}} & = const \end{aligned}$ となるから, いま選んだ慣性基準系では, 慣性中心が静止していることがわかる.