ランダウ力学 §30問題1 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§30の問題1の解説です.

1問題
2解答作成
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問題

支点が鉛直方向に大きな振動数

γ

(

γ ≫ \sqrt{g / l}

)で振動している振子の安定なつり合いの位置を求めよ.

解答作成

§5問題3で得られたLagrangianは,

\begin{aligned} (1) & L & = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{φ}}^{2} + m a γ^{2} l \cos φ \cos γ t + m g l \cos φ \end{aligned}

である. これから得られる運動方程式から, 変動する力は

\begin{aligned} (2) & f & = - m a γ^{2} l \sin φ \cos γ t \end{aligned}

となる. また, 量 $x$ として角度 $φ$ ( $- π < φ \leq π$ )をとることにすれば, 系の運動エネルギーの係数は $m l^{2}$ となる. ゆえに, 有効ポテンシャルエネルギーは

\begin{aligned} (30.10) & U_{有効} & = U + \frac{1}{2 ω^{2}} \sum_{i, j} a_{i j}^{- 1} \overset{―}{f_{i} f_{j}} = U + \sum_{i, j} \frac{a_{i j}}{2} \overset{―}{{\dot{ξ}}_{i} {\dot{ξ}}_{j}} \end{aligned}

より,

\begin{aligned} U_{有効} & = - m g l \cos φ + \frac{1}{2 γ^{2}} \cdot \frac{1}{m l^{2}} \cdot \frac{1}{2} m^{2} a^{2} γ^{4} l^{2} \sin^{2} φ \\ (3) & = m g l (- \cos φ + \frac{a^{2} γ^{2}}{4 g l} \sin^{2} φ) \end{aligned}

となる.

これを $φ$ で微分すると,

\begin{aligned} \frac{d U_{有効}}{d φ} & = m g l {\sin φ (1 + \frac{a^{2} γ^{2}}{2 g l} \cos φ)} \end{aligned}

となるから, これが $0$ になるような点は $φ = 0, π$ と, $\cos φ = - 2 g l / a^{2} γ^{2}$ を満たす $φ$ である(最後のは $a^{2} γ^{2} > 2 g l$ の場合に限る). $\cos φ = - 2 g l / a^{2} γ^{2}$ を満たす $φ$ の, $0 < φ < π$ の範囲にあるものを $φ_{1}$ とする.

$a^{2} γ^{2} < 2 g l$ の場合, 有効ポテンシャルエネルギーの増減表は表1のようになる.
表1　 $U$ の増減表( $a^{2} γ^{2} < 2 g l$ )

$φ$ $- π$ $\dots$ $0$ $\dots$ $π$

$d U / d φ$ $0$ $-$ $0$ $+$ $0$

$U$ $↘$ $↗$

ゆえに, 安定なつり合いの位置は $φ = 0$ に限る.
$a^{2} γ^{2} > 2 g l$ の場合, 有効ポテンシャルエネルギーの増減表は表2のようになる.
表2　 $U$ の増減表( $a^{2} γ^{2} > 2 g l$ )

$φ$ $- π$ $\dots$ $- φ_{1}$ $\dots$ $0$ $\dots$ $φ_{1}$ $\dots$ $π$

$d U / d φ$ $0$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$ $0$

$U$ $↗$ $↘$ $↗$ $↘$

ゆえに, 安定なつり合いの位置は $φ = 0, π$ に限る.