ランダウ力学 §30問題1 解説

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§30の問題1の解説です.

問題

解答作成

§5問題3で得られたLagrangianは,

である. これから得られる運動方程式から, 変動する力は

となる. また, 量$x$として角度$\varphi$($-\pi < \varphi \leq \pi$)をとることにすれば, 系の運動エネルギーの係数は$ml^2$となる. ゆえに, 有効ポテンシャルエネルギーは

より,

となる.

これを$\varphi$で微分すると,

となるから, これが$0$になるような点は$\varphi = 0, \pi$と, $\cos \varphi = - 2gl / a^2 \gamma^2$を満たす$\varphi$である(最後のは$a^2 \gamma^2 > 2gl$の場合に限る). $\cos \varphi = - 2gl / a^2 \gamma^2$を満たす$\varphi$の, $0 < \varphi < \pi$の範囲にあるものを$\varphi_1$とする.

• $a^2 \gamma^2 < 2gl$の場合, 有効ポテンシャルエネルギーの増減表は表1のようになる.

  表1　$U$の増減表($a^2 \gamma^2 < 2gl$)

  $\varphi$	$-\pi$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\pi$
  $\mathrm{d}U / \mathrm{d}\varphi$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$
  $U$		$\searrow$		$\nearrow$

  ゆえに, 安定なつり合いの位置は$\varphi=0$に限る.
• $a^2 \gamma^2 > 2gl$の場合, 有効ポテンシャルエネルギーの増減表は表2のようになる.

  表2　$U$の増減表($a^2 \gamma^2 > 2gl$)

  $\varphi$	$-\pi$	$\cdots$	$- \varphi_1$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$\varphi_1$	$\cdots$	$\pi$
  $\mathrm{d}U / \mathrm{d}\varphi$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$
  $U$		$\nearrow$		$\searrow$		$\nearrow$		$\searrow$

  ゆえに, 安定なつり合いの位置は$\varphi= 0, \pi$に限る.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

関連記事