ランダウ力学 §5問題1 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§5の問題1の解説です.

問題

一様な重力場(重力加速度

g

)のなかにある, つぎのような系のLagrangianを求めよ.

図1

支点を座標原点として, 支点からの右向き水平線を $x$ 軸, 支点からの下向き鉛直線を $y$ 軸とする. 質点 $m_{1}$ のデカルト座標 $x_{1}, y_{1}$ は,

\begin{aligned} x_{1} & = l_{1} \sin φ_{1}, \\ y_{1} & = l_{1} \cos φ_{1} \end{aligned}

である. これらを時間微分して,

\begin{aligned} {\dot{x}}_{1} & = l_{1} {\dot{φ}}_{1} \cos φ_{1}, \\ {\dot{y}}_{1} & = - l_{1} {\dot{φ}}_{1} \sin φ_{1} \end{aligned}

を得る. よって, 質点 $m_{1}$ の運動エネルギー $T_{1}$ は,

\begin{aligned} T_{1} & = \frac{1}{2} m_{1} ({\dot{x}}_{1}^{2} + {\dot{y}}_{1}^{2}) \\ = \frac{1}{2} m_{1} (l_{1}^{2} {\dot{φ}}_{1}^{2} \cos^{2} φ_{1} + l_{1}^{2} {\dot{φ}}_{1}^{2} \sin^{2} φ_{2}) \\ (1) & = \frac{1}{2} m_{1} l_{1}^{2} {\dot{φ}}_{1}^{2} \end{aligned}

となり, ポテンシャルエネルギー $U_{1}$ は,

\begin{aligned} U_{1} & = - m_{1} g y_{1} \\ (2) & = - m_{1} g l_{1} \cos φ_{1} \end{aligned}

となる.

一方, 質点 $m_{2}$ のデカルト座標 $x_{2}, y_{2}$ は,

\begin{aligned} x_{2} & = l_{1} \sin φ_{1} + l_{2} \sin φ_{2}, \\ y_{2} & = l_{1} \cos φ_{1} + l_{2} \cos φ_{2} \end{aligned}

である. これらを時間微分して,

\begin{aligned} {\dot{x}}_{2} & = l_{1} {\dot{φ}}_{1} \cos φ_{1} + l_{2} {\dot{φ}}_{2} \cos φ_{2}, \\ {\dot{y}}_{2} & = - l_{1} {\dot{φ}}_{1} \sin φ_{1} - l_{2} {\dot{φ}}_{2} \sin φ_{2} \end{aligned}

を得る. よって, 質点 $m_{1}$ の運動エネルギー $T_{1}$ は,

\begin{aligned} T_{1} & = \frac{1}{2} m_{2} ({\dot{x}}_{2}^{2} + {\dot{y}}_{2}^{2}) \\ = \frac{1}{2} m_{2} {{(l_{1} {\dot{φ}}_{1} \cos φ_{1} + l_{2} {\dot{φ}}_{2} \cos φ_{2})}^{2} + {(- l_{1} {\dot{φ}}_{1} \sin φ_{1} - l_{2} {\dot{φ}}_{2} \sin φ_{2})}^{2}} \\ = \frac{1}{2} m_{2} {l_{1}^{2} {\dot{φ}}_{1}^{2} + l_{2}^{2} {\dot{φ}}_{2}^{2} + 2 l_{1} l_{2} {\dot{φ}}_{1} {\dot{φ}}_{2} (\cos φ_{1} \cos φ_{2} + \sin φ_{1} \sin φ_{2})} \\ (3) & = \frac{1}{2} m_{2} l_{1}^{2} {\dot{φ}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} l_{2}^{2} {\dot{φ}}_{2}^{2} + m_{2} l_{1} l_{2} {\dot{φ}}_{1} {\dot{φ}}_{2} \cos (φ_{1} - φ_{2}) \end{aligned}

となり, ポテンシャルエネルギー $U_{1}$ は,

\begin{aligned} U_{1} & = - m_{2} g y_{2} \\ = - m_{2} g (l_{1} \cos φ_{1} + l_{2} \cos φ_{2}) \\ (4) & = - m_{2} g l_{1} \cos φ_{1} - m_{2} g l_{2} \cos φ_{2} \end{aligned}

となる.

$(1)$ , $(2)$ , $(3)$ , $(4)$ より, この系のLagrangianは,

\begin{aligned} L & = T_{1} + T_{2} - U_{1} - U_{2} \\ = \frac{m_{1} + m_{2}}{2} l_{1}^{2} {\dot{φ}}_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} l_{2}^{2} {\dot{φ}}_{2}^{2} + m_{2} l_{1} l_{2} {\dot{φ}}_{1} {\dot{φ}}_{2} \cos (φ_{1} - φ_{2}) \\ (5) & + (m_{1} + m_{2}) g l_{1} \cos φ_{1} + m_{2} g l_{2} \cos φ_{2} \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.