ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§5の問題1の解説です.
問題
一様な重力場(重力加速度$g$)のなかにある, つぎのような系のLagrangianを求めよ.
- 2重平面振り子(図1).
図1解答作成
支点を座標原点として, 支点からの右向き水平線を$x$軸, 支点からの下向き鉛直線を$y$軸とする. 質点$m_1$のデカルト座標$x_1 , y_1$は,
\begin{align}
x_1 &= l_1 \sin \varphi_1 , \nonumber \\
y_1 &= l_1 \cos \varphi_1 \nonumber
\end{align}
である. これらを時間微分して,
\begin{align}
\dot{x}_1 &= l_1 \dot{\varphi}_1 \cos \varphi_1 , \nonumber \\
\dot{y}_1 &= - l_1 \dot{\varphi}_1 \sin \varphi_1 \nonumber
\end{align}
を得る. よって, 質点$m_1$の運動エネルギー$T_1$は,
\begin{align}
T_1 &= \frac{1}{2} m_1 \left( \dot{x}_1^2 + \dot{y}_1^2 \right) \nonumber \\
&= \frac{1}{2} m_1 \left( l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 \cos^2 \varphi_1 + l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 \sin^2 \varphi_2 \right) \nonumber \\
&= \frac{1}{2} m_1 l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 \label{eq_5-e1}
\end{align}
となり, ポテンシャルエネルギー$U_1$は,
\begin{align}
U_1 &= - m_1 g y_1 \nonumber \\
&= - m_1 g l_1 \cos \varphi_1 \label{eq_5-e2}
\end{align}
となる.
一方, 質点$m_2$のデカルト座標$x_2 , y_2$は,
\begin{align}
x_2 &= l_1 \sin \varphi_1 + l_2 \sin \varphi_2 , \nonumber \\
y_2 &= l_1 \cos \varphi_1 + l_2 \cos \varphi_2 \nonumber
\end{align}
である. これらを時間微分して,
\begin{align}
\dot{x}_2 &= l_1 \dot{\varphi}_1 \cos \varphi_1 + l_2 \dot{\varphi}_2 \cos \varphi_2 , \nonumber \\
\dot{y}_2 &= - l_1 \dot{\varphi}_1 \sin \varphi_1 - l_2 \dot{\varphi}_2 \sin \varphi_2 \nonumber
\end{align}
を得る. よって, 質点$m_1$の運動エネルギー$T_1$は,
\begin{align}
T_1 &= \frac{1}{2} m_2 \left( \dot{x}_2^2 + \dot{y}_2^2 \right) \nonumber \\
&= \frac{1}{2} m_2 \left\{ \left( l_1 \dot{\varphi}_1 \cos \varphi_1 + l_2 \dot{\varphi}_2 \cos \varphi_2 \right)^2 + \left( - l_1 \dot{\varphi}_1 \sin \varphi_1 - l_2 \dot{\varphi}_2 \sin \varphi_2 \right)^2 \right\} \nonumber \\
&= \frac{1}{2} m_2 \left\{ l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 + l_2^2 \dot{\varphi}_2^2 + 2 l_1 l_2 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_2 \left( \cos \varphi_1 \cos \varphi_2 + \sin \varphi_1 \sin \varphi_2 \right) \right\} \nonumber \\
&= \frac{1}{2} m_2 l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 l_2^2 \dot{\varphi}_2^2 + m_2 l_1 l_2 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_2 \cos \left( \varphi_1 - \varphi_2 \right) \label{eq_5-e3}
\end{align}
となり, ポテンシャルエネルギー$U_1$は,
\begin{align}
U_1 &= - m_2 g y_2 \nonumber \\
&= - m_2 g \left( l_1 \cos \varphi_1 + l_2 \cos \varphi_2 \right) \nonumber \\
&= - m_2 g l_1 \cos \varphi_1 - m_2 g l_2 \cos \varphi_2 \label{eq_5-e4}
\end{align}
となる.
\eqref{eq_5-e1}, \eqref{eq_5-e2}, \eqref{eq_5-e3}, \eqref{eq_5-e4}より, この系のLagrangianは,
\begin{align}
L &= T_1 + T_2 - U_1 - U_2 \nonumber \\
&= \frac{m_1 + m_2}{2} l_1^2 \dot{\varphi}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 l_2^2 \dot{\varphi}_2^2 + m_2 l_1 l_2 \dot{\varphi}_1 \dot{\varphi}_2 \cos \left( \varphi_1 - \varphi_2 \right) \nonumber \\
&\qquad + \left( m_1 + m_2 \right) g l_1 \cos \varphi_1 + m_2 g l_2 \cos \varphi_2
\end{align}
となる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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