ランダウ力学 §7問題解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§7の問題の解説です.

問題

速度

v_{1}

で運動している質量

m

の粒子がポテンシャルエネルギー一定(

U_{1}

)の半空間から, 同じくポテンシャルエネルギー一定(

U_{2}

)の半空間へ移行する. 粒子の運動方向の変化を求めよ.

図A

図Aのように, 角度 $θ_{1}, θ_{2}$ を定める. 図1の上下の方向には空間の一様性があるので, その方向の運動量は保存する. よって,

\begin{aligned} m v_{1} \sin θ_{1} & = m v_{2} \sin θ_{2} \\ (1) & \frac{\sin θ_{1}}{\sin θ_{2}} & = \frac{v_{2}}{v_{1}} \end{aligned}

となる. また, 時間の一様性もあるから, エネルギーも保存する. よって,

\begin{aligned} \frac{1}{2} m v_{1}^{2} + U_{1} & = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} + U_{2} \\ \frac{v_{2}^{2}}{v_{1}^{2}} & = 1 + \frac{2}{m v_{1}^{2}} (U_{1} - U_{2}) \\ (2) & \frac{v_{2}}{v_{1}} & = \sqrt{1 + \frac{2}{m v_{1}^{2}} (U_{1} - U_{2})} \end{aligned}

となる.

$(1)$ , $(2)$ より,

\begin{aligned} (3) & \frac{\sin θ_{1}}{\sin θ_{2}} & = \sqrt{1 + \frac{2}{m v_{1}^{2}} (U_{1} - U_{2})} \end{aligned}

となる. これが求める答えである.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.