ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§7の問題の解説です.
問題
速度$\bm{v}_1$で運動している質量$m$の粒子がポテンシャルエネルギー一定($U_1$)の半空間から, 同じくポテンシャルエネルギー一定($U_2$)の半空間へ移行する. 粒子の運動方向の変化を求めよ.
解答作成
図A図Aのように, 角度$\theta_1 , \theta_2$を定める. 図1の上下の方向には空間の一様性があるので, その方向の運動量は保存する. よって,
\begin{align}
m v_1 \sin \theta_1 &= m v_2 \sin \theta_2 \nonumber \\
\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} &= \frac{v_2}{v_1} \label{eq_7-e1}
\end{align}
となる. また, 時間の一様性もあるから, エネルギーも保存する. よって,
\begin{align}
\frac{1}{2} m v_1^2 + U_1 &= \frac{1}{2} m v_2^2 + U_2 \nonumber \\
\frac{v_2^2}{v_1^2} &= 1 + \frac{2}{mv_1^2} \left( U_1 - U_2 \right) \nonumber \\
\frac{v_2}{v_1} &= \sqrt{ 1 + \frac{2}{mv_1^2} \left( U_1 - U_2 \right)} \label{eq_7-e2}
\end{align}
となる.
\eqref{eq_7-e1}, \eqref{eq_7-e2}より,
\begin{align}
\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2} &= \sqrt{ 1 + \frac{2}{mv_1^2} \left( U_1 - U_2 \right)}
\end{align}
となる. これが求める答えである.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
リンク
関連記事
ランダウ力学 解説掲載をしていない問題について
ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の解説掲載をしていない問題についてコメントします. スポンサーリンク 解説作成を検討している問題 解説作成を検討している問題を, 以下に示します. 解説作成の取りやめを決断した問題 解説作成の取...
0 件のコメント:
コメントを投稿 (Please feel free to ask me about your questions! You can use Japanese or English in the comments.)