ランダウ力学 §18問題5 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§18の問題5の解説です.

問題

U = - α / r^{n} (n > 2, α > 0)

の場合について同様に断面積を求めよ.

§18問題4は以下の通り.

U = - α / r^{2}

の場の中心に粒子の「到達」する有効断面積を決定せよ.

有効ポテンシャルエネルギーは

\begin{aligned} (1) & U_{有効} (r) & = \frac{m ρ^{2} v_{\infty}^{2}}{2 r^{2}} - \frac{α}{r^{n}} \end{aligned}

である.

\begin{aligned} \frac{d U_{有効} (r)}{d r} & = - \frac{m ρ^{2} v_{\infty}^{2}}{r^{3}} + n \frac{α}{r^{n + 1}} \end{aligned}

であるから, ${d U_{有効} (r) / d r |}_{r = r_{1}} = 0$ とすると,

\begin{aligned} r_{1} & = {(\frac{n α}{m ρ^{2} v_{\infty}^{2}})}^{\frac{1}{n - 2}} \end{aligned}

となる. 求めた $r_{1}$ では極大値をとり,

\begin{aligned} (2) & U_{有効} (r_{1}) & = \frac{(n - 2) α}{2} {(\frac{m ρ^{2} v_{\infty}^{2}}{n α})}^{\frac{n}{n - 2}} \end{aligned}

となる. (以上, 図1参照. )

図1

この有効ポテンシャルエネルギーの極大値を上回るエネルギーを有する粒子のみ, 中心に到達する.

\begin{aligned} E & = \frac{m v_{\infty}^{2}}{2} \end{aligned}

であるから, その条件は

\begin{aligned} U_{有効} (r_{1}) < E, \\ \frac{(n - 2) α}{2} {(\frac{m ρ^{2} v_{\infty}^{2}}{n α})}^{\frac{n}{n - 2}} < \frac{m v_{\infty}^{2}}{2}, \\ ρ^{2} < n {(n - 2)}^{\frac{2 - n}{n}} {(\frac{α}{m v_{\infty}^{2}})}^{\frac{2}{n}} \end{aligned}

となる. ゆえに, 中心に到達する $ρ$ の最大値 $ρ_{\max}$ は

\begin{aligned} ρ_{\max}^{2} & = n {(n - 2)}^{\frac{2 - n}{n}} {(\frac{α}{m v_{\infty}^{2}})}^{\frac{2}{n}} \end{aligned}

であり, 求める有効断面積は

\begin{aligned} (3) & σ & = π ρ_{\max}^{2} = π n {(n - 2)}^{\frac{2 - n}{n}} {(\frac{α}{m v_{\infty}^{2}})}^{\frac{2}{n}} \end{aligned}

となる.

$n = 2$ において, 有効ポテンシャルエネルギーは

\begin{aligned} U_{有効} (r) & = \frac{m ρ^{2} v_{\infty}^{2}}{2 r^{2}} - \frac{α}{r^{2}} \\ (4) & = \frac{1}{r^{2}} (\frac{m ρ^{2} v_{\infty}^{2}}{2} - α) \end{aligned}

である. これは,

\begin{array}{r} (5) & ρ < \sqrt{\frac{2 α}{m v_{\infty}^{2}}} \end{array}

を満たすときにのみ, 図2のような中心に到達しうるようなグラフになる. このとき, 任意の $r$ で $U_{有効} < 0$ であるから, 任意の $E > 0$ で中心に到達する. ゆえに, 条件 $(5)$ を満たせばよいのである.

図2　係数が

+

の場合(上)と

-

の場合(下)の両方を示している
中心に到達しうるのは

-

の方

一方, $n > 2$ であれば(エネルギー $E$ の値の制限はともかく)それだけで中心に到達しうるようなグラフになる. しかし, $U_{有効} > 0$ である $r$ の範囲が存在するので, $(2)$ 以上のエネルギーを有していないと中心に到達しない.

問題4と問題5には, 以上のような違いがあるのである. ゆえに, 求め方も異なるように見えているのである.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.