ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§17の問題の解説です.
問題
運動している粒子(質量$m_1$)が静止している粒子(質量$m_2$)と衝突したのちの両方の粒子の速さを, L系でのふれの角度で表せ.
解答作成
(手書きの図を紛失したので, 本編p. 56の図16をご覧ください. )
まず, $v_2'$を$\theta_2$で表す. 図16において, $\triangle{\mathrm{OBC}}$は二等辺三角形であることから,
\begin{align}
p_2' &= 2mv \cos \theta_2 \nonumber
\end{align}
であるから,
\begin{align}
v_2' &= 2 \frac{m}{m_2} v \cos \theta_2
\end{align}
となる.
次に, $v_1'$を$\theta_1$で表す. $\triangle{\mathrm{OAC}}$において余弦定理を適用すれば,
\begin{align}
\mathrm{OC}^2 &= \mathrm{OA}^2 + \mathrm{AC}^2 - 2 \cdot \mathrm{OA} \cdot \mathrm{AC} \cos \theta_1 \nonumber
\end{align}
となる. 各値を代入して
\begin{align}
\left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right)^2 v^2 &= \left( \frac{m_1^2}{m_1+m_2} \right)^2 v^2 + m_1^2 \left( v_1' \right)^2 - 2 \frac{m_1^3}{m_1+m_2} v_1' v \cos \theta_1 \nonumber \\
\frac{m_2^2}{\left( m_1 + m_2 \right)^2} &= \frac{m_1^2}{\left( m_1 + m_2 \right)^2} + \left( \frac{v_1'}{v^2} \right)^2 - 2 \frac{m}{m_2} \frac{v_1'}{v} \cos \theta_1 \nonumber \\
0 &= \left( \frac{v_1'}{v^2} \right)^2 - 2 \frac{m}{m_2} \frac{v_1'}{v} \cos \theta_1 + \frac{m_1^2 - m_2^2}{\left( m_1 + m_2 \right)^2} \nonumber \\
0 &= \left( \frac{v_1'}{v^2} \right)^2 - 2 \frac{m}{m_2} \frac{v_1'}{v} \cos \theta_1 + \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}
\end{align}
となるから, 2次方程式の解の公式より
\begin{align}
\frac{v_1'}{v} &= \frac{m}{m_2} \cos \theta_1 \pm \sqrt{\frac{m^2}{m_2^2} \cos^2 \theta_1 - \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}} \nonumber \\
&= \frac{m_1}{m_1 + m_2} \cos \theta_1 \pm \sqrt{\frac{m_1^2}{\left( m_1 + m_2 \right)^2} \cos^2 \theta_1 - \frac{m_1^2 - m_2^2}{\left( m_1 + m_2 \right)^2}} \nonumber \\
&= \frac{m_1}{m_1 + m_2} \cos \theta_1 \pm \frac{1}{m_1 + m_2} \sqrt{m_1^2 \cos^2 \theta_1 - \left( m_1^2 - m_2^2 \right)} \nonumber \\
&= \frac{m_1}{m_1 + m_2} \cos \theta_1 \pm \frac{1}{m_1 + m_2} \sqrt{m_2^2 - m_1^2 \sin^2 \theta_1} \nonumber
\end{align}
となり,
\begin{align}
v_1' &= \frac{m_1 v}{m_1 + m_2} \cos \theta_1 \pm \frac{v}{m_1 + m_2} \sqrt{m_2^2 - m_1^2 \sin^2 \theta_1}
\end{align}
となる. ただし,
- $m_1 < m_2$のとき, 複号は$+$のみをとる($\theta_1 = 0$の状況を考えればよい)
- $m_1 > m_2$のとき, 複号はどちらの符号も可能
である.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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