ランダウ力学 §17問題解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§17の問題の解説です.

問題

運動している粒子(質量

m_{1}

)が静止している粒子(質量

m_{2}

)と衝突したのちの両方の粒子の速さを, L系でのふれの角度で表せ.

(手書きの図を紛失したので, 本編p. 56の図16をご覧ください. )

まず, $v_{2}^{'}$ を $θ_{2}$ で表す. 図16において, $△ OBC$ は二等辺三角形であることから,

\begin{aligned} p_{2}^{'} & = 2 m v \cos θ_{2} \end{aligned}

であるから,

\begin{aligned} (1) & v_{2}^{'} & = 2 \frac{m}{m_{2}} v \cos θ_{2} \end{aligned}

となる.

次に, $v_{1}^{'}$ を $θ_{1}$ で表す. $△ OAC$ において余弦定理を適用すれば,

\begin{aligned} {OC}^{2} & = {OA}^{2} + {AC}^{2} - 2 \cdot OA \cdot AC \cos θ_{1} \end{aligned}

となる. 各値を代入して

\begin{aligned} {(\frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}})}^{2} v^{2} & = {(\frac{m_{1}^{2}}{m_{1} + m_{2}})}^{2} v^{2} + m_{1}^{2} {(v_{1}^{'})}^{2} - 2 \frac{m_{1}^{3}}{m_{1} + m_{2}} v_{1}^{'} v \cos θ_{1} \\ \frac{m_{2}^{2}}{{(m_{1} + m_{2})}^{2}} & = \frac{m_{1}^{2}}{{(m_{1} + m_{2})}^{2}} + {(\frac{v_{1}^{'}}{v^{2}})}^{2} - 2 \frac{m}{m_{2}} \frac{v_{1}^{'}}{v} \cos θ_{1} \\ 0 & = {(\frac{v_{1}^{'}}{v^{2}})}^{2} - 2 \frac{m}{m_{2}} \frac{v_{1}^{'}}{v} \cos θ_{1} + \frac{m_{1}^{2} - m_{2}^{2}}{{(m_{1} + m_{2})}^{2}} \\ (2) & 0 & = {(\frac{v_{1}^{'}}{v^{2}})}^{2} - 2 \frac{m}{m_{2}} \frac{v_{1}^{'}}{v} \cos θ_{1} + \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \end{aligned}

となるから, 2次方程式の解の公式より

\begin{aligned} \frac{v_{1}^{'}}{v} & = \frac{m}{m_{2}} \cos θ_{1} \pm \sqrt{\frac{m^{2}}{m_{2}^{2}} \cos^{2} θ_{1} - \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}}} \\ = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \cos θ_{1} \pm \sqrt{\frac{m_{1}^{2}}{{(m_{1} + m_{2})}^{2}} \cos^{2} θ_{1} - \frac{m_{1}^{2} - m_{2}^{2}}{{(m_{1} + m_{2})}^{2}}} \\ = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \cos θ_{1} \pm \frac{1}{m_{1} + m_{2}} \sqrt{m_{1}^{2} \cos^{2} θ_{1} - (m_{1}^{2} - m_{2}^{2})} \\ = \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \cos θ_{1} \pm \frac{1}{m_{1} + m_{2}} \sqrt{m_{2}^{2} - m_{1}^{2} \sin^{2} θ_{1}} \end{aligned}

となり,

\begin{aligned} (3) & v_{1}^{'} & = \frac{m_{1} v}{m_{1} + m_{2}} \cos θ_{1} \pm \frac{v}{m_{1} + m_{2}} \sqrt{m_{2}^{2} - m_{1}^{2} \sin^{2} θ_{1}} \end{aligned}

となる. ただし,

である.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.