ランダウ力学 §9問題3 解説

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§9の問題3の解説です.

問題

解答作成

1. 無限に広がった平面を$xy$平面とすると, 力学系の性質が不変である移動と保存される量は, 表1のようになる.

   表1

   力学系の性質が不変である移動	保存される量
   $x$軸に沿った平行移動	$P_x$
   $y$軸に沿った平行移動	$P_y$
   $z$軸まわりの回転	$M_z$

   例えば,
   \begin{align} U(\bm{r}) &= \left\{ \begin{aligned} 1 &\quad (z = 0) \\ 0 &\quad (\text{others}) \end{aligned} \right. \nonumber \end{align}
   のような場を考えればよいであろう.
   
   
2. 円柱の軸を$z$軸とすると, 力学系の性質が不変である移動と保存される量は, 表2のようになる.

   表2

   力学系の性質が不変である移動	保存される量
   $z$軸に沿った平行移動	$P_z$
   $z$軸まわりの回転	$M_z$

   例えば,
   \begin{align} U(\bm{r}) &= \left\{ \begin{aligned} 1 &\quad (r \leq 1) \\ 0 &\quad (\text{others}) \end{aligned} \right. \nonumber \end{align}
   のような場を考えればよいであろう.
   
   
3. プリズム(角柱)の軸を$z$軸とすると, 力学系の性質が不変である移動と保存される量は, 表3のようになる.

   表3

   力学系の性質が不変である移動	保存される量
   $z$軸に沿った平行移動	$P_z$

   例えば, 四角柱を例にして
   \begin{align} U(\bm{r}) &= \left\{ \begin{aligned} 1 &\quad (-1 \leq x \leq 1 , -1 \leq y \leq 1) \\ 0 &\quad (\text{others}) \end{aligned} \right. \nonumber \end{align}
   のような場を考えればよいであろう.
   
   
4. 2つの点は$z$軸上にあるとすると, 力学系の性質が不変である移動と保存される量は, 表4のようになる.

   表4

   力学系の性質が不変である移動	保存される量
   $z$軸まわりの回転	$M_z$

   例えば,
   \begin{align} U(\bm{r}) &= \left\{ \begin{aligned} 1 &\quad ((x,y,z) = (0,0,1) , (0,0,-1)) \\ 0 &\quad (\text{others}) \end{aligned} \right. \nonumber \end{align}
   のような場を考えればよいであろう.
   
   
5. 半平面は$y$軸で仕切られた$xy$平面とすると, 力学系の性質が不変である移動と保存される量は, 表5のようになる.

   表5

   力学系の性質が不変である移動	保存される量
   $y$軸に沿った平行移動	$P_y$

   例えば,
   \begin{align} U(\bm{r}) &= \left\{ \begin{aligned} 1 &\quad (z=0 , x>0) \\ 0 &\quad (\text{others}) \end{aligned} \right. \nonumber \end{align}
   のような場を考えればよいであろう.
   
   
6. 円錐の軸を$z$軸とすると, 力学系の性質が不変である移動と保存される量は, 表6のようになる.

   表6

   力学系の性質が不変である移動	保存される量
   $z$軸まわりの回転	$M_z$

   例えば,
   \begin{align} U(\bm{r}) &= \left\{ \begin{aligned} 1 &\quad (0 < z < 1 , 0 < r < 1-z) \\ 0 &\quad (\text{others}) \end{aligned} \right. \nonumber \end{align}
   のような場を考えればよいであろう.
   
   
7. 円環の軸を$z$軸とすると, 力学系の性質が不変である移動と保存される量は, 表7のようになる.

   表7

   力学系の性質が不変である移動	保存される量
   $z$軸まわりの回転	$M_z$

   例えば,
   \begin{align} U(\bm{r}) &= \left\{ \begin{aligned} 1 &\quad (0 < z < 1 , - \sqrt{1-z^2} < r < \sqrt{1-z^2}) \\ 0 &\quad (\text{others}) \end{aligned} \right. \nonumber \end{align}
   のような場を考えればよいであろう.
   
   
8. らせんの軸を$z$軸とすると,
   • 「$z$軸のまわりに角度$\delta \varphi$だけ回転し, $z$軸に沿って$\displaystyle \frac{h}{2\pi} \delta \varphi$だけ平行移動させる」という移動
   に関して, 力学系の性質は不変である(ただし, $h$はらせんの歩みを示し, 1周(角度$2\pi$)だけ回転すると$h$だけらせんが進むことを意味する). そのときのLagrangianの変化は
   \begin{align} \delta L &= \frac{\partial L}{\partial z} \delta z + \frac{\partial L}{\partial \varphi} \delta \varphi \nonumber \\ &= \left( \dot{P}_z \frac{h}{2\pi} + \dot{M}_z \right) \delta \varphi = 0 \nonumber \end{align}
   となるが, $\delta \varphi$は任意であるから
   \begin{align} \dot{P}_z \frac{h}{2\pi} + \dot{M}_z &= 0 \nonumber \\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left( M_z + \frac{h}{2\pi} P_z \right) &= 0 \nonumber \\ M_z + \frac{h}{2\pi} P_z &= \text{const} \nonumber \end{align}
   となる. したがって, 保存されるのは$\displaystyle M_z + \frac{h}{2\pi} P_z$である.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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