ランダウ力学 §9問題3 解説

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§9の問題3の解説です.

問題

解答作成

1. 無限に広がった平面を$xy$平面とすると, 力学系の性質が不変である移動と保存される量は, 表1のようになる.

   表1

   力学系の性質が不変である移動	保存される量
   $x$軸に沿った平行移動	$P_x$
   $y$軸に沿った平行移動	$P_y$
   $z$軸まわりの回転	$M_z$

   例えば,
   $$\begin{array}{rl}U(\mathit{r})& =\{\begin{array}{rl}1& (z=0)\\ 0& (\text{others})\end{array}\end{array}$$
   のような場を考えればよいであろう.
   
   
2. 円柱の軸を$z$軸とすると, 力学系の性質が不変である移動と保存される量は, 表2のようになる.

   表2

   力学系の性質が不変である移動	保存される量
   $z$軸に沿った平行移動	$P_z$
   $z$軸まわりの回転	$M_z$

   例えば,
   $$\begin{array}{rl}U(\mathit{r})& =\{\begin{array}{rl}1& (r\le 1)\\ 0& (\text{others})\end{array}\end{array}$$
   のような場を考えればよいであろう.
   
   
3. プリズム(角柱)の軸を$z$軸とすると, 力学系の性質が不変である移動と保存される量は, 表3のようになる.

   表3

   力学系の性質が不変である移動	保存される量
   $z$軸に沿った平行移動	$P_z$

   例えば, 四角柱を例にして
   $$\begin{array}{rl}U(\mathit{r})& =\{\begin{array}{rl}1& (-1\le x\le 1,-1\le y\le 1)\\ 0& (\text{others})\end{array}\end{array}$$
   のような場を考えればよいであろう.
   
   
4. 2つの点は$z$軸上にあるとすると, 力学系の性質が不変である移動と保存される量は, 表4のようになる.

   表4

   力学系の性質が不変である移動	保存される量
   $z$軸まわりの回転	$M_z$

   例えば,
   $$\begin{array}{rl}U(\mathit{r})& =\{\begin{array}{rl}1& ((x,y,z)=(0,0,1),(0,0,-1))\\ 0& (\text{others})\end{array}\end{array}$$
   のような場を考えればよいであろう.
   
   
5. 半平面は$y$軸で仕切られた$xy$平面とすると, 力学系の性質が不変である移動と保存される量は, 表5のようになる.

   表5

   力学系の性質が不変である移動	保存される量
   $y$軸に沿った平行移動	$P_y$

   例えば,
   $$\begin{array}{rl}U(\mathit{r})& =\{\begin{array}{rl}1& (z=0,x>0)\\ 0& (\text{others})\end{array}\end{array}$$
   のような場を考えればよいであろう.
   
   
6. 円錐の軸を$z$軸とすると, 力学系の性質が不変である移動と保存される量は, 表6のようになる.

   表6

   力学系の性質が不変である移動	保存される量
   $z$軸まわりの回転	$M_z$

   例えば,
   $$\begin{array}{rl}U(\mathit{r})& =\{\begin{array}{rl}1& (0<z<1,0<r<1-z)\\ 0& (\text{others})\end{array}\end{array}$$
   のような場を考えればよいであろう.
   
   
7. 円環の軸を$z$軸とすると, 力学系の性質が不変である移動と保存される量は, 表7のようになる.

   表7

   力学系の性質が不変である移動	保存される量
   $z$軸まわりの回転	$M_z$

   例えば,
   $$\begin{array}{rl}U(\mathit{r})& =\{\begin{array}{rl}1& (0<z<1,-\sqrt{1-z^2}<r<\sqrt{1-z^2})\\ 0& (\text{others})\end{array}\end{array}$$
   のような場を考えればよいであろう.
   
   
8. らせんの軸を$z$軸とすると,
   • 「$z$軸のまわりに角度$\delta \phi$だけ回転し, $z$軸に沿って${\displaystyle \frac{h}{2\pi }\delta \phi }$だけ平行移動させる」という移動
   に関して, 力学系の性質は不変である(ただし, $h$はらせんの歩みを示し, 1周(角度$2\pi$)だけ回転すると$h$だけらせんが進むことを意味する). そのときのLagrangianの変化は
   $$\begin{array}{rl}\delta L& =\frac{\partial L}{\partial z}\delta z+\frac{\partial L}{\partial \phi }\delta \phi \\ & =({\dot{P}}_z\frac{h}{2\pi }+{\dot{M}}_z)\delta \phi =0\end{array}$$
   となるが, $\delta \phi$は任意であるから
   $$\begin{array}{rl}{\dot{P}}_z\frac{h}{2\pi }+{\dot{M}}_z& =0\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(M_z+\frac{h}{2\pi }{P}_z)& =0\\ M_z+\frac{h}{2\pi }{P}_z& =\text{const}\end{array}$$
   となる. したがって, 保存されるのは${\displaystyle M_z+\frac{h}{2\pi }{P}_z}$である.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

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