ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§11の問題1の解説です.
問題
単振子(重力場の中で長さ$l$の糸でつるされた質量$m$の質点)の周期をその振幅の関数として決定せよ.
解答作成
支点を座標原点として, 支点からの右向き水平線を$x$軸, 支点からの下向き鉛直線を$y$軸とする. また, 単振子の傾きの角度を$\varphi$とする. 計算すると, この系のエネルギーは
\begin{align}
E &= \frac{1}{2} m l^2 \dot{\varphi}^2 - mg l \cos \varphi \nonumber
\end{align}
となる.
ここで, 単振子の最大の傾きの角度$\varphi_0$を導入すると, 最大の傾きとなるときに速度は$0$になるから,
\begin{align}
E &= \frac{1}{2} m l^2 \dot{\varphi}^2 - mg l \cos \varphi = - mg l \cos \varphi_0
\end{align}
となる. 本編\eqref{eq_11-51}
\begin{align}
T(E) &= \sqrt{2m} \int_{x_1(E)}^{x_2(E)} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{E - U(x)}} \tag{11.5} \label{eq_11-51}
\end{align}
において, 周期$T$を角度$\varphi$が$0$から$\varphi_0$まで変化する間の4倍として求めれば,
\begin{align}
T &= 2 \sqrt{2ml^2} \int_{0}^{\varphi_0} \frac{\mathrm{d} \varphi}{\sqrt{mg l \cos \varphi - mg l \cos \varphi_0}} \nonumber \\
&= 4 \sqrt{\frac{l}{2g}} \int_{0}^{\varphi_0} \frac{\mathrm{d} \varphi}{\sqrt{\cos \varphi - \cos \varphi_0}} \nonumber \\
&= 4 \sqrt{\frac{l}{2g}} \int_{0}^{\varphi_0} \frac{\mathrm{d} \varphi}{\sqrt{1 - 2 \sin^2 \frac{\varphi}{2} - 1 + 2 \sin^2 \frac{\varphi_0}{2}}} \nonumber \\
&= 2 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\varphi_0} \frac{\mathrm{d} \varphi}{\sqrt{\sin^2 \frac{\varphi_0}{2} - \sin^2 \frac{\varphi}{2}}} \nonumber
\end{align}
となる(デカルト座標ではないが, 今回は質量の部分を$m \to ml^2$と置き換えることで同様の議論が成り立っている). ここで,
\begin{align}
\sin \xi &= \frac{\sin \frac{\varphi}{2}}{\sin \frac{\varphi_0}{2}}
\end{align}
の置換を利用すると,
\begin{align}
\mathrm{d}\varphi &= \frac{2 \sin \frac{\varphi_0}{2} \cos \xi}{\cos \frac{\varphi}{2}} \mathrm{d}\xi
\end{align}
であるから,
\begin{align}
T &= 2 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\varphi_0} \frac{\mathrm{d} \varphi}{\sin \frac{\varphi_0}{2} \sqrt{1 - \left( \sin^2 \frac{\varphi}{2} \right) / \left( \sin^2 \frac{\varphi_0}{2} \right)}} \nonumber \\
&= 2 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\varphi_0} \frac{\mathrm{d} \varphi}{\sin \frac{\varphi_0}{2} \sqrt{1 - \sin^2 \xi}} \nonumber \\
&= 2 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin \frac{\varphi_0}{2} \sqrt{1 - \sin^2 \xi}} \frac{2 \sin \frac{\varphi_0}{2} \cos \xi}{\cos \frac{\varphi}{2}} \mathrm{d}\xi \nonumber \\
&= 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \frac{\varphi}{2}}} \mathrm{d}\xi \nonumber \\
&= 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \frac{\varphi_0}{2} \sin^2 \xi}} \mathrm{d}\xi
\end{align}
となる. そして, 第1種完全楕円関数(complete elliptic integral of the first kind)
\begin{align}
K (k) &= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\mathrm{d}\xi}{\sqrt{1-k^2 \sin^2 \xi}}
\end{align}
を用いると, 周期$T$は
\begin{align}
T &= 4 \sqrt{\frac{l}{g}} K \left( \sin \frac{\varphi_0}{2} \right)
\end{align}
となる.
微小振動の場合
$\varphi_0 \ll 1$(微小振動)を仮定すると, 被積分関数をTaylor展開して
\begin{align}
T &= 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2 \xi \cdot \left( \frac{\varphi_0}{2} \right)^2}} \mathrm{d}\xi \nonumber \\
&= 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left( 1 + \frac{1}{2} \sin^2 \xi \cdot \left( \frac{\varphi_0}{2} \right)^2 + \cdots \right) \mathrm{d}\xi \nonumber \\
&= 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \frac{\pi}{4} \left( \frac{\varphi_0}{2} \right)^2 + \cdots \right) \nonumber \\
&= 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \left( 1 + \frac{\varphi_0^2}{16} + \cdots \right)
\end{align}
となる. 特に, 第1項のみをとった
\begin{align}
T &= 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}
\end{align}
は, よく知られた単振動の周期の公式である.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
リンク
関連記事
ランダウ力学 §11問題2 解説
ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§11の問題2の解説です. スポンサーリンク 問題 つぎの各ポテンシャルエネルギーの場のなかで, 質量$m$の質点が運動しているとき, その振動の周期をエネルギーの関数として表せ. ...
ランダウ力学 解説掲載をしていない問題について
ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の解説掲載をしていない問題についてコメントします. スポンサーリンク 解説作成を検討している問題 解説作成を検討している問題を, 以下に示します. 解説作成の取りやめを決断した問題 解説作成の取...
0 件のコメント:
コメントを投稿 (Please feel free to ask me about your questions! You can use Japanese or English in the comments.)