ランダウ力学 §11問題1 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§11の問題1の解説です.

問題

単振子(重力場の中で長さ

l

の糸でつるされた質量

m

の質点)の周期をその振幅の関数として決定せよ.

支点を座標原点として, 支点からの右向き水平線を $x$ 軸, 支点からの下向き鉛直線を $y$ 軸とする. また, 単振子の傾きの角度を $φ$ とする. 計算すると, この系のエネルギーは

\begin{aligned} E & = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{φ}}^{2} - m g l \cos φ \end{aligned}

となる.

ここで, 単振子の最大の傾きの角度 $φ_{0}$ を導入すると, 最大の傾きとなるときに速度は $0$ になるから,

\begin{aligned} (1) & E & = \frac{1}{2} m l^{2} {\dot{φ}}^{2} - m g l \cos φ = - m g l \cos φ_{0} \end{aligned}

となる. 本編 $(11.5)$

\begin{aligned} (11.5) & T (E) & = \sqrt{2 m} \int_{x_{1} (E)}^{x_{2} (E)} \frac{d x}{\sqrt{E - U (x)}} \end{aligned}

において, 周期 $T$ を角度 $φ$ が $0$ から $φ_{0}$ まで変化する間の4倍として求めれば,

\begin{aligned} T & = 2 \sqrt{2 m l^{2}} \int_{0}^{φ_{0}} \frac{d φ}{\sqrt{m g l \cos φ - m g l \cos φ_{0}}} \\ = 4 \sqrt{\frac{l}{2 g}} \int_{0}^{φ_{0}} \frac{d φ}{\sqrt{\cos φ - \cos φ_{0}}} \\ = 4 \sqrt{\frac{l}{2 g}} \int_{0}^{φ_{0}} \frac{d φ}{\sqrt{1 - 2 \sin^{2} \frac{φ}{2} - 1 + 2 \sin^{2} \frac{φ_{0}}{2}}} \\ = 2 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{φ_{0}} \frac{d φ}{\sqrt{\sin^{2} \frac{φ_{0}}{2} - \sin^{2} \frac{φ}{2}}} \end{aligned}

となる(デカルト座標ではないが, 今回は質量の部分を $m \to m l^{2}$ と置き換えることで同様の議論が成り立っている). ここで,

\begin{aligned} (2) & \sin ξ & = \frac{\sin \frac{φ}{2}}{\sin \frac{φ_{0}}{2}} \end{aligned}

の置換を利用すると,

\begin{aligned} (3) & d φ & = \frac{2 \sin \frac{φ_{0}}{2} \cos ξ}{\cos \frac{φ}{2}} d ξ \end{aligned}

であるから,

\begin{aligned} T & = 2 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{φ_{0}} \frac{d φ}{\sin \frac{φ_{0}}{2} \sqrt{1 - (\sin^{2} \frac{φ}{2}) / (\sin^{2} \frac{φ_{0}}{2})}} \\ = 2 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{φ_{0}} \frac{d φ}{\sin \frac{φ_{0}}{2} \sqrt{1 - \sin^{2} ξ}} \\ = 2 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sin \frac{φ_{0}}{2} \sqrt{1 - \sin^{2} ξ}} \frac{2 \sin \frac{φ_{0}}{2} \cos ξ}{\cos \frac{φ}{2}} d ξ \\ = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} \frac{φ}{2}}} d ξ \\ (4) & = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} \frac{φ_{0}}{2} \sin^{2} ξ}} d ξ \end{aligned}

となる. そして, 第1種完全楕円関数(complete elliptic integral of the first kind)

\begin{aligned} (5) & K (k) & = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{d ξ}{\sqrt{1 - k^{2} \sin^{2} ξ}} \end{aligned}

を用いると, 周期 $T$ は

\begin{aligned} (6) & T & = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} K (\sin \frac{φ_{0}}{2}) \end{aligned}

となる.

$φ_{0} ≪ 1$ (微小振動)を仮定すると, 被積分関数をTaylor展開して

\begin{aligned} T & = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^{2} ξ \cdot {(\frac{φ_{0}}{2})}^{2}}} d ξ \\ = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 + \frac{1}{2} \sin^{2} ξ \cdot {(\frac{φ_{0}}{2})}^{2} + \dots) d ξ \\ = 4 \sqrt{\frac{l}{g}} (\frac{π}{2} + \frac{1}{2} \frac{π}{4} {(\frac{φ_{0}}{2})}^{2} + \dots) \\ (7) & = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}} (1 + \frac{φ_{0}^{2}}{16} + \dots) \end{aligned}

となる. 特に, 第1項のみをとった

\begin{aligned} (8) & T & = 2 π \sqrt{\frac{l}{g}} \end{aligned}

は, よく知られた単振動の周期の公式である.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.