ランダウ力学 §32問題7 解説-Shinoryo's Weblog

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ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§32の問題7の解説です.

問題

平面上をころがる一様な円錐の運動エネルギーを見いだせ.

解答作成

(円錐の図を書くのが面倒なので, 本編p.131の図42をご覧ください. )

並進運動のエネルギーと回転運動のエネルギーに分けて考える.

平面上の$\mathrm{X}$軸と円錐と$\mathrm{XY}$平面の接線$\mathrm{OA}$との間の角度を$\theta$とする. この角度は, 円錐が転がっていくにつれて変化する.

並進運動

さて, 並進運動を瞬間的に考えると, $Z$軸を回転軸とした回転運動と考えられる(ある意味, そのままである). その回転運動の角速度は当然, $\dot{\theta}$である. 座標原点と慣性中心を結ぶ線分の$\mathrm{XY}$平面へ射影した線分の長さは$a \cos \alpha$(ただし, $2\alpha$は円錐の頂角, $a$は頂点から慣性中心までの距離)であるから, 慣性中心の運動の速さは

\begin{align} V &= a \dot{\theta} \cos \alpha \end{align}

である. 円錐の質量を$\mu$とすれば, 並進運動の運動エネルギーは

\begin{align} T_{\text{並進}} &= \frac{\mu}{2} V^2 = \frac{\mu a^2 \dot{\theta}^2}{2} \cos^2 \alpha \end{align}

となる. 頂点から慣性中心までの距離は,

\begin{align} a &= \frac{3}{4}h \label{eq_32-7-ex1} \end{align}

である(こちらの記事参照)から, これを代入すると,

\begin{align} T_{\text{並進}} &= \frac{9 \mu h^2 \dot{\theta}^2}{32} \cos^2 \alpha \end{align}

となる.

回転運動

図考える慣性主軸.
ベクトル$\mathrm{OA}$が基底ベクトル$\bm{e}_1$, $\bm{e}_3$のみで表されるように, 慣性主軸$x_1$, $x_2$を選んでいる.

続いて, 回転運動のエネルギーについて考える. この回転運動の角速度$\Omega$は, 直線$\mathrm{OA}$のまわりの回転の速さとして計算される. すなわち,

\begin{align} V &= a \Omega \sin \alpha \end{align}

となる$\Omega$である^*1から,

\begin{align} \Omega &= \frac{V}{a \sin \alpha} = \dot{\theta} \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \end{align}

である. 円錐の軸のまわりの慣性モーメントを$I_3$とする. そして, 残りの慣性主軸($x_2$)としては, 円錐の軸および直線$\mathrm{OA}$に垂直な直線を選ぶ. すなわち, 角速度ベクトル$\bm{\Omega}$の各慣性主軸への射影は, $\left( \Omega \sin \alpha, 0, \Omega \cos \alpha \right)$となる. ゆえに, 回転運動の運動エネルギーは

\begin{align} T_{\text{回転}} &= \frac{I_1}{2} \Omega^2 \sin^2 \alpha + \frac{I_3}{2} \Omega^2 \cos^2 \alpha \\ &= \frac{I_1}{2} \dot{\theta}^2 \cos^2 \alpha + \frac{I_3}{2} \dot{\theta}^2 \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} \end{align}

となる. ここで, 一様な円錐の慣性モーメント$I_1$, $I_3$は§32問題2のeで求められており,

\begin{align} I_1 &= \frac{3}{20} \mu \left( R^2 + \frac{h^2}{4} \right) , \\ I_3 &= \frac{3}{10} \mu R^2 \end{align}

となる(ただし, $R$は円錐の底面の半径, $h$は円錐の高さである). また, 頂点から慣性中心までの距離は, 式\eqref{eq_32-7-ex1}で与えられる. さらに, $R$は円錐の底面の半径であり, $h$は円錐の高さであるから, これら2つには$\alpha$によって

\begin{align} R &= h \tan \alpha \end{align}

という関係が成り立つ. これらを代入すると

\begin{align} T_{\text{回転}} &= \frac{3 \mu}{40} \dot{\theta}^2 \cos^2 \alpha \left( R^2 + \frac{h^2}{4} \right) + \frac{3 \mu R^2}{20} \dot{\theta}^2 \frac{\cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} \nonumber \\ &= \frac{3 \mu R^2 \dot{\theta}^2}{40} \left( \cos^2 \alpha + \frac{2 \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} \right) + \frac{3 \mu h^2 \dot{\theta}^2}{160} \cos^2 \alpha \nonumber \\ &= \frac{3 \mu h^2 \dot{\theta}^2}{40} \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \left( \cos^2 \alpha + \frac{2 \cos^4 \alpha}{\sin^2 \alpha} \right) + \frac{3 \mu h^2 \dot{\theta}^2}{160} \cos^2 \alpha \nonumber \\ &= \frac{3 \mu h^2 \dot{\theta}^2}{40} \left( \sin^2 \alpha + 2 \cos^2 \alpha \right) + \frac{3 \mu h^2 \dot{\theta}^2}{160} \cos^2 \alpha \nonumber \\ &= \frac{3 \mu h^2 \dot{\theta}^2}{40} \left( 1 + \cos^2 \alpha \right) + \frac{3 \mu h^2 \dot{\theta}^2}{160} \cos^2 \alpha \nonumber \\ &= \frac{3 \mu h^2 \dot{\theta}^2}{40} \left( 1 + \frac{5}{4} \cos^2 \alpha \right) \end{align}

となる.

並進運動と回転運動の合計

以上から, 求める運動エネルギーは,

\begin{align} T &= \frac{3 \mu h^2 \dot{\theta}^2}{40} \left( 1 + 5 \cos^2 \alpha \right) \end{align}

である.

参考文献

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

リンク

脚注

*1 : 慣性中心と直線$\mathrm{OA}$の距離が$a \sin \alpha$となる.

ランダウ力学 §32問題7 解説

問題

解答作成

並進運動

回転運動

並進運動と回転運動の合計

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