ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§16の問題1の解説です.
問題
2個の粒子へ崩壊するときの, 崩壊粒子のL系での飛行方向$\theta_1$と$\theta_2$とのあいだの関係を求めよ.
解答作成
本編の通り, 粒子は大きさが同じで反対向きの運動量で離れていく(C系では)ので, 両方の粒子の飛行角は
\begin{align}
\theta_{10} &= \pi - \theta_{20} \label{eq_16-e2}
\end{align}
の関係にある. 粒子1に関して
\begin{align}
\tan \theta &= \frac{v_0 \sin \theta_0}{v_0 \cos \theta_0 + V} \tag{16.5} \label{eq_16-m5}
\end{align}
を適用すると,
\begin{align}
\tan \theta_1 &= \frac{v_{10} \sin \theta_{10}}{v_{10} \cos \theta_{10} + V} \nonumber \\
\therefore v_{10} \cos \theta_{10} + V &= v_{10} \sin \theta_{10} \cot \theta_1 \label{eq_16-e1}
\end{align}
となる. 一方, 粒子2に関して\eqref{eq_16-m5}を適用する, 粒子1と同様にして
\begin{align}
v_{20} \cos \theta_{20} + V &= v_{20} \sin \theta_{20} \cot \theta_2 \nonumber
\end{align}
となるが, \eqref{eq_16-e2}を用いて
\begin{align}
v_{20} \cos \left( \pi - \theta_{10} \right) + V &= v_{20} \sin \left( \pi - \theta_{10} \right) \cot \theta_2 \nonumber \\
- v_{20} \cos \theta_{10} + V &= v_{20} \sin \theta_{10} \cot \theta_2 \label{eq_16-e3}
\end{align}
となる. \eqref{eq_16-e1}, \eqref{eq_16-e3}を連立させて, $\sin \theta_{10}$, $\cos \theta_{10}$について解くと,
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
\sin \theta_{10} &= \frac{\left( v_{10} + v_{20} \right) V}{v_{10} v_{20} \left( \cot \theta_1 + \cot \theta_2 \right)} \\
\cos \theta_{10} &= \frac{\left( v_{10} \cot \theta_1 - v_{20} \cot \theta_2 \right) V}{v_{10} v_{20} \left( \cot \theta_1 + \cot \theta_2 \right)}
\end{aligned}
\right.
\end{align}
となる. 三角関数の性質$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より
\begin{align}
&\quad \left\{ \left( v_{10} + v_{20} \right) V \right\}^2 + \left\{ \left( v_{10} \cot \theta_1 - v_{20} \cot \theta_2 \right) V \right\}^2 \nonumber \\
&= \left\{ v_{10} v_{20} \left( \cot \theta_1 + \cot \theta_2 \right) \right\}^2 \label{eq_16-e7}
\end{align}
となり, 整理して
\begin{align}
&\quad \frac{v_{10}}{v_{20}} \sin^2 \theta_2 + \frac{v_{20}}{v_{10}} \sin^2 \theta_1 - 2 \sin \theta_1 \sin \theta_2 \cos \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \nonumber \\
&= \frac{v_{10} v_{20}}{V^2} \sin^2 \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \label{eq_16-e4}
\end{align}
となる. ここで, C系での運動量保存から,
\begin{align}
m_1 v_{10} - m_2 v_{20} &= 0 \nonumber \\
\therefore \frac{v_{10}}{v_{20}} &= \frac{m_2}{m_1} \label{eq_16-e5}
\end{align}
となる. そして, 崩壊エネルギー$\varepsilon$の式
\begin{align}
\varepsilon &= \frac{p_0^2}{2} \left( \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \right) = \frac{p_0^2}{2m} \tag{16.2} \label{eq_16-m2}
\end{align}
を変形して
\begin{align}
\varepsilon &= \frac{m_1^2 v_{10}^2}{2} \frac{m_1 + m_2}{m_1 m_2} \nonumber \\
\therefore \frac{2\varepsilon}{m_1 + m_2} &= m_1^2 v_{10}^2 \frac{1}{m_1 m_2} = \frac{m_1}{m_2} v_{10}^2 = v_{10} v_{20} \label{eq_16-e6}
\end{align}
となる. \eqref{eq_16-e4}, \eqref{eq_16-e5}, \eqref{eq_16-e6}より,
\begin{align}
&\quad \frac{m_2}{m_1} \sin^2 \theta_2 +\frac{m_1}{m_2} \sin^2 \theta_1 - 2 \sin \theta_1 \sin \theta_2 \cos \left( \theta_1 + \theta_2 \right) \nonumber \\
&= \frac{2\varepsilon}{\left( m_1 + m_2 \right) V^2} \sin^2 \left( \theta_1 + \theta_2 \right)
\end{align}
となり, $\theta_1$と$\theta_2$の関係が求まった.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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