ランダウ力学 §16問題1 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§16の問題1の解説です.

問題

2個の粒子へ崩壊するときの, 崩壊粒子のL系での飛行方向

θ_{1}

と

θ_{2}

とのあいだの関係を求めよ.

本編の通り, 粒子は大きさが同じで反対向きの運動量で離れていく(C系では)ので, 両方の粒子の飛行角は

\begin{aligned} (1) & θ_{10} & = π - θ_{20} \end{aligned}

の関係にある. 粒子1に関して

\begin{aligned} (16.5) & \tan θ & = \frac{v_{0} \sin θ_{0}}{v_{0} \cos θ_{0} + V} \end{aligned}

を適用すると,

\begin{aligned} \tan θ_{1} & = \frac{v_{10} \sin θ_{10}}{v_{10} \cos θ_{10} + V} \\ (2) & ∴ v_{10} \cos θ_{10} + V & = v_{10} \sin θ_{10} \cot θ_{1} \end{aligned}

となる. 一方, 粒子2に関して $(16.5)$ を適用する, 粒子1と同様にして

\begin{aligned} v_{20} \cos θ_{20} + V & = v_{20} \sin θ_{20} \cot θ_{2} \end{aligned}

となるが, $(1)$ を用いて

\begin{aligned} v_{20} \cos (π - θ_{10}) + V & = v_{20} \sin (π - θ_{10}) \cot θ_{2} \\ (3) & - v_{20} \cos θ_{10} + V & = v_{20} \sin θ_{10} \cot θ_{2} \end{aligned}

となる. $(2)$ , $(3)$ を連立させて, $\sin θ_{10}$ , $\cos θ_{10}$ について解くと,

\begin{array}{r} (4) & {\begin{aligned} \sin θ_{10} & = \frac{(v_{10} + v_{20}) V}{v_{10} v_{20} (\cot θ_{1} + \cot θ_{2})} \\ \cos θ_{10} & = \frac{(v_{10} \cot θ_{1} - v_{20} \cot θ_{2}) V}{v_{10} v_{20} (\cot θ_{1} + \cot θ_{2})} \end{aligned} \end{array}

となる. 三角関数の性質 $\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$ より

\begin{aligned} {(v_{10} + v_{20}) V}^{2} + {(v_{10} \cot θ_{1} - v_{20} \cot θ_{2}) V}^{2} \\ (5) & = {v_{10} v_{20} (\cot θ_{1} + \cot θ_{2})}^{2} \end{aligned}

となり, 整理して

\begin{aligned} \frac{v_{10}}{v_{20}} \sin^{2} θ_{2} + \frac{v_{20}}{v_{10}} \sin^{2} θ_{1} - 2 \sin θ_{1} \sin θ_{2} \cos (θ_{1} + θ_{2}) \\ (6) & = \frac{v_{10} v_{20}}{V^{2}} \sin^{2} (θ_{1} + θ_{2}) \end{aligned}

となる. ここで, C系での運動量保存から,

\begin{aligned} m_{1} v_{10} - m_{2} v_{20} & = 0 \\ (7) & ∴ \frac{v_{10}}{v_{20}} & = \frac{m_{2}}{m_{1}} \end{aligned}

となる. そして, 崩壊エネルギー $ε$ の式

\begin{aligned} (16.2) & ε & = \frac{p_{0}^{2}}{2} (\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}) = \frac{p_{0}^{2}}{2 m} \end{aligned}

を変形して

\begin{aligned} ε & = \frac{m_{1}^{2} v_{10}^{2}}{2} \frac{m_{1} + m_{2}}{m_{1} m_{2}} \\ (8) & ∴ \frac{2 ε}{m_{1} + m_{2}} & = m_{1}^{2} v_{10}^{2} \frac{1}{m_{1} m_{2}} = \frac{m_{1}}{m_{2}} v_{10}^{2} = v_{10} v_{20} \end{aligned}

となる. $(6)$ , $(7)$ , $(8)$ より,

\begin{aligned} \frac{m_{2}}{m_{1}} \sin^{2} θ_{2} + \frac{m_{1}}{m_{2}} \sin^{2} θ_{1} - 2 \sin θ_{1} \sin θ_{2} \cos (θ_{1} + θ_{2}) \\ (9) & = \frac{2 ε}{(m_{1} + m_{2}) V^{2}} \sin^{2} (θ_{1} + θ_{2}) \end{aligned}

となり, $θ_{1}$ と $θ_{2}$ の関係が求まった.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.