ランダウ力学 §16問題2 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§16の問題2の解説です.

問題

崩壊粒子のL系における飛行方向の分布を求めよ.

$v_{0} > V$ のときは,

\begin{aligned} (16.6) & \cos θ_{0} & = - \frac{V}{v_{0}} \sin^{2} θ \pm \cos θ \sqrt{1 - \frac{V^{2}}{v_{0}^{2}} \sin^{2} θ_{0}} \end{aligned}

の複号において $+$ をとったものを採用するのであった.

\begin{aligned} \frac{d o_{0}}{4 π} & = \frac{1}{2} \sin θ_{0} d θ_{0} = - \frac{1}{2} d (\cos θ_{0}) \end{aligned}

であるから, $(16.6)$ を用いて

\begin{aligned} \frac{d (\cos θ_{0})}{d θ} & = - 2 \frac{V}{v_{0}} \sin θ \cos θ - \frac{\sin θ (1 + \frac{V^{2}}{v_{0}^{2}} \cos 2 θ)}{\sqrt{1 - \frac{V^{2}}{v_{0}^{2}} \sin^{2} θ}} \end{aligned}

となるから,

\begin{aligned} (1) & \frac{d o_{0}}{4 π} & = \frac{\sin θ d θ}{2} (2 \frac{V}{v_{0}} \cos θ + \frac{1 + \frac{V^{2}}{v_{0}^{2}} \cos 2 θ}{\sqrt{1 - \frac{V^{2}}{v_{0}^{2}} \sin^{2} θ}}) (0 \leq θ \leq π) \end{aligned}

となる.

$v_{0} < V$ のときは, $θ_{0}$ と $θ$ との関係の2つの可能性を考慮しなければならない. 複号で $-$ をとったものを考えると,

\begin{aligned} \frac{d o_{0}}{4 π} & = \frac{\sin θ d θ}{2} (2 \frac{V}{v_{0}} \cos θ - \frac{1 + \frac{V^{2}}{v_{0}^{2}} \cos 2 θ}{\sqrt{1 - \frac{V^{2}}{v_{0}^{2}} \sin^{2} θ}}) \end{aligned}

となる. しかし, $0 \leq θ \leq θ_{\max}$ ^*1において, これは負になってしまうので, $+$ のものと $-$ のものの差をとらなければならない. よって,

\begin{aligned} (2) & \frac{d o_{0}}{4 π} & = \frac{\sin θ (1 + \frac{V^{2}}{v_{0}^{2}} \cos 2 θ)}{\sqrt{1 - \frac{V^{2}}{v_{0}^{2}} \sin^{2} θ}} d θ (0 \leq θ \leq θ_{\max}) \end{aligned}

となる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

*1 : $θ$ が超えることができない $θ_{\max}$ は

\begin{aligned} \sin θ_{\max} & = \frac{v_{0}}{V} \end{aligned}

で与えられる.