ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§15の問題1の解説です.
問題
$U = - \alpha / r$という場において$E=0$で(放物線にそって)運動する質点の座標の時間に対する関係を求めよ.
解答作成
時間を決定する積分
\begin{align}
t = \int \frac{\mathrm{d} r}{\sqrt{\frac{2}{m} \left( E - U(r) \right) - \frac{M^2}{m^2 r^2}}} + \text{const} \tag{14.6}
\end{align}
より, $U = - \alpha / r$, $E=0$として,
\begin{align}
t &= \int \left( \frac{2 \alpha}{mr} - \frac{M^2}{m^2 r^2} \right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm{d}r + \text{const} \nonumber \\
&= \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \int \frac{r \, \mathrm{d}r}{\sqrt{r - \frac{M^2}{2\alpha m}}} + \text{const} \nonumber \\
&= \sqrt{\frac{m}{2\alpha}} \int \frac{r \, \mathrm{d}r}{\sqrt{r - \frac{p}{2}}} + \text{const} \nonumber
\end{align}
となる*1. ここで,
\begin{align}
r &= \frac{p}{2} \left( 1+ \eta^2 \right) \nonumber
\end{align}
の置換を用いると,
\begin{align}
t &= \sqrt{\frac{mp^3}{\alpha}} \frac{1}{2} \int \left( 1+\eta^2 \right) \mathrm{d}\eta + \text{const} \nonumber \\
&= \sqrt{\frac{mp^3}{\alpha}} \frac{\eta}{2} \left( 1+ \frac{\eta^2}{3} \right) + \text{const} \nonumber
\end{align}
となる.
また, $x = r \cos \varphi$について,
\begin{align}
\frac{p}{r} = 1 + e \cos \varphi \tag{15.5}
\end{align}
で*2$e=1$として,
\begin{align}
x &= p-r \nonumber \\ &= p - \frac{p}{2} \left( 1+ \eta^2 \right) \nonumber \\
&= \frac{p}{2} \left( 1 - \eta^2 \right) \nonumber
\end{align}
となり, また
\begin{align}
y &= \sqrt{r^2 - x^2} \nonumber \\
&= \sqrt{\frac{p^2}{4} \left( 1+ \eta^2 \right)^2 - \frac{p^2}{4} \left( 1 - \eta^2 \right)^2} \nonumber \\
&= p \eta \nonumber
\end{align}
となる.
以上をまとめると, パラメータ表示で($t$の原点を$\text{const} = 0$となるように選ぶ),
\begin{align}
\left\{
\begin{aligned}
r &= \frac{p}{2} \left( 1+ \eta^2 \right) , \\
t &= \sqrt{\frac{mp^3}{\alpha}} \frac{\eta}{2} \left( 1+ \frac{\eta^2}{3} \right) , \\
x &= \frac{p}{2} \left( 1 - \eta^2 \right) , \\
y &= p \eta
\end{aligned}
\right.
\end{align}
となる. パラメータ$\eta$の値は$- \infty$から$\infty$まで変わる.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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脚注
*1 : $p$は
\begin{align}
p = \frac{M^2}{m \alpha} \tag{15.4a}
\end{align}
で与えられる.
*2 : $e$は
\begin{align}
e = \sqrt{\frac{2EM^2}{m\alpha^2} + 1} \tag{15.4b}
\end{align}
で与えられる.
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