ランダウ力学 §15問題1 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§15の問題1の解説です.

問題

U = - α / r

という場において

E = 0

で(放物線にそって)運動する質点の座標の時間に対する関係を求めよ.

時間を決定する積分

\begin{array}{r} (14.6) & t = \int \frac{d r}{\sqrt{\frac{2}{m} (E - U (r)) - \frac{M^{2}}{m^{2} r^{2}}}} + const \end{array}

より, $U = - α / r$ , $E = 0$ として,

\begin{aligned} t & = \int {(\frac{2 α}{m r} - \frac{M^{2}}{m^{2} r^{2}})}^{- \frac{1}{2}} d r + const \\ = \sqrt{\frac{m}{2 α}} \int \frac{r d r}{\sqrt{r - \frac{M^{2}}{2 α m}}} + const \\ = \sqrt{\frac{m}{2 α}} \int \frac{r d r}{\sqrt{r - \frac{p}{2}}} + const \end{aligned}

となる^*1. ここで,

\begin{aligned} r & = \frac{p}{2} (1 + η^{2}) \end{aligned}

の置換を用いると,

\begin{aligned} t & = \sqrt{\frac{m p^{3}}{α}} \frac{1}{2} \int (1 + η^{2}) d η + const \\ = \sqrt{\frac{m p^{3}}{α}} \frac{η}{2} (1 + \frac{η^{2}}{3}) + const \end{aligned}

となる.

また, $x = r \cos φ$ について,

\begin{array}{r} (15.5) & \frac{p}{r} = 1 + e \cos φ \end{array}

で^*2 $e = 1$ として,

\begin{aligned} x & = p - r \\ = p - \frac{p}{2} (1 + η^{2}) \\ = \frac{p}{2} (1 - η^{2}) \end{aligned}

となり, また

\begin{aligned} y & = \sqrt{r^{2} - x^{2}} \\ = \sqrt{\frac{p^{2}}{4} {(1 + η^{2})}^{2} - \frac{p^{2}}{4} {(1 - η^{2})}^{2}} \\ = p η \end{aligned}

となる.

以上をまとめると, パラメータ表示で( $t$ の原点を $const = 0$ となるように選ぶ),

\begin{array}{r} (1) & {\begin{aligned} r & = \frac{p}{2} (1 + η^{2}), \\ t & = \sqrt{\frac{m p^{3}}{α}} \frac{η}{2} (1 + \frac{η^{2}}{3}), \\ x & = \frac{p}{2} (1 - η^{2}), \\ y & = p η \end{aligned} \end{array}

となる. パラメータ $η$ の値は $- \infty$ から $\infty$ まで変わる.

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.

*1 : $p$ は

\begin{array}{r} (15.4a) & p = \frac{M^{2}}{m α} \end{array}

で与えられる.

*2 : $e$ は

\begin{array}{r} (15.4b) & e = \sqrt{\frac{2 E M^{2}}{m α^{2}} + 1} \end{array}

で与えられる.