ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§15の問題3の解説です.
問題
ポテンシャルエネルギー$U = - \alpha / r$に小さな追加項$\delta U(r)$を付け加えると, 有界な運動の軌跡は閉じることをやめ, 1回転ごとに軌道の近日点が小さな角$\delta \varphi$だけ位置を変える. $\delta \varphi$を
- $\delta U = \beta / r^2$
- $\delta U = \gamma / r^3$
解答作成
次の式
\begin{align}
\Delta \varphi &= 2 \int_{r_{\mathrm{min}}}^{r_{\mathrm{max}}} \frac{\frac{M}{r^2} \mathrm{d}r}{\sqrt{2m \left( E - U(r) \right) - \frac{M^2}{r^2}}} \tag{14.10}
\end{align}
を利用する. 見かけ上の発散を防ぐため,
\begin{align}
\Delta \varphi &= - 2 \frac{\partial}{\partial M} \int_{r_{\mathrm{min}}}^{r_{\mathrm{max}}} \sqrt{2m \left( E - U(r) \right) - \frac{M^2}{r^2}} \, \mathrm{d}r \nonumber
\end{align}
と変形する.
\begin{align}
U(r) &= - \frac{\alpha}{r} + \delta U(r) \nonumber
\end{align}
とおくと, 被積分関数は,
\begin{align}
&\quad \sqrt{2m \left( E - U(r) \right) - \frac{M^2}{r^2}} \nonumber \\
&= \sqrt{2m \left( E + \frac{\alpha}{r} - \delta U(r) \right) - \frac{M^2}{r^2}} \nonumber \\
&= \sqrt{2m \left( E + \frac{\alpha}{r} \right) - \frac{M^2}{r^2}} - \frac{m}{\sqrt{2m \left( E + \frac{\alpha}{r} \right) - \frac{M^2}{r^2}}} \delta U(r) + O \left( \left( \delta U(r) \right)^2 \right) \nonumber
\end{align}
と$\delta U(r)$のベキで展開できる. $0$次の項は有界な軌道なら$2\pi$となる. $1$次の項は求める$\delta \varphi$を表し,
\begin{align}
\delta \varphi &= \frac{\partial}{\partial M} \int_{r_{\mathrm{min}}}^{r_{\mathrm{max}}} \frac{2m}{\sqrt{2m \left( E + \frac{\alpha}{r} \right) - \frac{M^2}{r^2}}} \delta U(r) \, \mathrm{d}r \nonumber \\
&= \frac{\partial}{\partial M} \int_{0}^{\pi} \frac{2m}{\sqrt{2m \left( E + \frac{\alpha}{r} \right) - \frac{M^2}{r^2}}} \delta U(r) \frac{\mathrm{d} r}{\mathrm{d} \varphi} \mathrm{d}\varphi \nonumber \\
&= \frac{\partial}{\partial M} \int_{0}^{\pi} \frac{2m}{\sqrt{2m \left( E + \frac{\alpha}{r} \right) - \frac{M^2}{r^2}}} \delta U(r) \frac{\sqrt{2m \left( E + \frac{\alpha}{r} \right) - \frac{M^2}{r^2}}}{\frac{M}{r^2}} \mathrm{d}\varphi \nonumber \\
&= \frac{\partial}{\partial M} \int_{0}^{\pi} 2m \frac{r^2}{M} \delta U(r) \, \mathrm{d}\varphi \nonumber \\
&= \frac{\partial}{\partial M} \left( \frac{2m}{M} \int_{0}^{\pi} r^2 \delta U(r) \, \mathrm{d}\varphi \right)
\end{align}
となる($\mathrm{d}r$についての積分を, 摂動を受けていない運動の軌跡に沿っての$\mathrm{d}\varphi$についての積分に変数変換した*1).
- aの場合,
\begin{align} \delta \varphi &= \frac{\partial}{\partial M} \left( \frac{2m}{M} \int_{0}^{\pi} \beta \, \mathrm{d}\varphi \right) \nonumber \\ &= - \frac{2\pi \beta m}{M^2} = - \frac{2\pi \beta}{\alpha p} \end{align}となる*2.
- bの場合,
\begin{align} \delta \varphi &= \frac{\partial}{\partial M} \left( \frac{2m}{M} \int_{0}^{\pi} \frac{\gamma}{r} \, \mathrm{d}\varphi \right) \nonumber \\ &= \frac{\partial}{\partial M} \left( \frac{2m}{M} \int_{0}^{\pi} \frac{\gamma \left( 1+e \cos \varphi \right)}{p} \, \mathrm{d}\varphi \right) \nonumber \\ &= \frac{\partial}{\partial M} \left( \frac{2m\gamma}{Mp} \pi \right) \nonumber \\ &= \frac{\partial}{\partial M} \left( \frac{2 \pi m^2 \alpha \gamma}{M^3} \right) \nonumber \\ &= - \frac{6 \pi m^2 \alpha \gamma}{M^4} = - \frac{6\pi \gamma}{\alpha p^2} \end{align}となる*3.
参考文献
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. 力学. 広重徹, 水戸巌訳, 増訂第3版, 東京図書, 1974, 214p.
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脚注
*1 : なお, 摂動を受けていない楕円での$r$と$\varphi$の関係は,
\begin{align}
\varphi &= \int \frac{\frac{M}{r^2} \mathrm{d}r}{\sqrt{2m \left( E + \frac{\alpha}{r} \right) - \frac{M^2}{r^2}}} + \text{const} \nonumber
\end{align}
で与えられる. 微分形では,
\begin{align}
\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}r} &= \frac{\frac{M}{r^2}}{\sqrt{2m \left( E + \frac{\alpha}{r} \right) - \frac{M^2}{r^2}}} \nonumber
\end{align}
である.
*2 : $p$は摂動を受けていない楕円の半通径で
\begin{align}
p = \frac{M^2}{m \alpha} \tag{15.4a}
\end{align}
と与えられる.
*3 : $p$は*2と同じ, $e$は摂動を受けていない楕円の離心率で
\begin{align}
e = \sqrt{\frac{2EM^2}{m\alpha^2} + 1} \tag{15.4b}
\end{align}
と与えられる.
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