ランダウ力学 §15問題3 解説-Shinoryo's Weblog

ランダウ゠リフシッツ理論物理学教程の力学(増訂第3版)の§15の問題3の解説です.

問題

ポテンシャルエネルギー

U = - α / r

に小さな追加項

δ U (r)

を付け加えると, 有界な運動の軌跡は閉じることをやめ, 1回転ごとに軌道の近日点が小さな角

δ φ

だけ位置を変える.

δ φ

を

の場合に決定せよ.

次の式

\begin{aligned} (14.10) & Δ φ & = 2 \int_{r_{\min}}^{r_{\max}} \frac{\frac{M}{r^{2}} d r}{\sqrt{2 m (E - U (r)) - \frac{M^{2}}{r^{2}}}} \end{aligned}

を利用する. 見かけ上の発散を防ぐため,

\begin{aligned} Δ φ & = - 2 \frac{\partial}{\partial M} \int_{r_{\min}}^{r_{\max}} \sqrt{2 m (E - U (r)) - \frac{M^{2}}{r^{2}}} d r \end{aligned}

と変形する.

\begin{aligned} U (r) & = - \frac{α}{r} + δ U (r) \end{aligned}

とおくと, 被積分関数は,

\begin{aligned} \sqrt{2 m (E - U (r)) - \frac{M^{2}}{r^{2}}} \\ = \sqrt{2 m (E + \frac{α}{r} - δ U (r)) - \frac{M^{2}}{r^{2}}} \\ = \sqrt{2 m (E + \frac{α}{r}) - \frac{M^{2}}{r^{2}}} - \frac{m}{\sqrt{2 m (E + \frac{α}{r}) - \frac{M^{2}}{r^{2}}}} δ U (r) + O ({(δ U (r))}^{2}) \end{aligned}

と $δ U (r)$ のベキで展開できる. $0$ 次の項は有界な軌道なら $2 π$ となる. $1$ 次の項は求める $δ φ$ を表し,

\begin{aligned} δ φ & = \frac{\partial}{\partial M} \int_{r_{\min}}^{r_{\max}} \frac{2 m}{\sqrt{2 m (E + \frac{α}{r}) - \frac{M^{2}}{r^{2}}}} δ U (r) d r \\ = \frac{\partial}{\partial M} \int_{0}^{π} \frac{2 m}{\sqrt{2 m (E + \frac{α}{r}) - \frac{M^{2}}{r^{2}}}} δ U (r) \frac{d r}{d φ} d φ \\ = \frac{\partial}{\partial M} \int_{0}^{π} \frac{2 m}{\sqrt{2 m (E + \frac{α}{r}) - \frac{M^{2}}{r^{2}}}} δ U (r) \frac{\sqrt{2 m (E + \frac{α}{r}) - \frac{M^{2}}{r^{2}}}}{\frac{M}{r^{2}}} d φ \\ = \frac{\partial}{\partial M} \int_{0}^{π} 2 m \frac{r^{2}}{M} δ U (r) d φ \\ (1) & = \frac{\partial}{\partial M} (\frac{2 m}{M} \int_{0}^{π} r^{2} δ U (r) d φ) \end{aligned}

となる( $d r$ についての積分を, 摂動を受けていない運動の軌跡に沿っての $d φ$ についての積分に変数変換した^*1).

aの場合,
$\begin{aligned} δ φ & = \frac{\partial}{\partial M} (\frac{2 m}{M} \int_{0}^{π} β d φ) \\ (2) & = - \frac{2 π β m}{M^{2}} = - \frac{2 π β}{α p} \end{aligned}$
となる^*2.
bの場合,
$\begin{aligned} δ φ & = \frac{\partial}{\partial M} (\frac{2 m}{M} \int_{0}^{π} \frac{γ}{r} d φ) \\ = \frac{\partial}{\partial M} (\frac{2 m}{M} \int_{0}^{π} \frac{γ (1 + e \cos φ)}{p} d φ) \\ = \frac{\partial}{\partial M} (\frac{2 m γ}{M p} π) \\ = \frac{\partial}{\partial M} (\frac{2 π m^{2} α γ}{M^{3}}) \\ (3) & = - \frac{6 π m^{2} α γ}{M^{4}} = - \frac{6 π γ}{α p^{2}} \end{aligned}$
となる^*3.